Buka Set Definisi

Question

Saya mengambil kursus analisis nyata di semester kedua saya. Kami belajar tentang ruang metrik dari bayi Rudin. Dalam hal itu telah didefinisikan dengan jelas bahwa wrt Metric Spaces bahwa suatu himpunan terbuka jika untuk setiap titik di dalamnya kita dapat menemukan lingkungan dari titik itu yang terletak sepenuhnya di dalam himpunan itu.

Sekarang di semester keempat saya, saya mengambil kursus di Introductory Topology. Kami mengikuti Munkres. Dalam buku tersebut, diberikan bahwa jika subset$U$ termasuk dalam topologi himpunan $X$, kemudian $U$ terbuka di $X$.

Saya benar-benar bingung antara keduanya karena keduanya digunakan secara bergantian. Adakah yang bisa menjelaskan apakah kedua definisi itu setara atau tidak?

Answer 1

Dalam ruang metrik, himpunan terbuka jika merupakan anggota topologi (implisit) yang terdiri dari semua himpunan yang dijelaskan melalui lingkungan seperti yang Anda lakukan. Topologi (sebagai satu set set terbuka) tidak disebutkan secara eksplisit, tetapi itu ada.

Gagasan yang setara dalam ruang topologi sewenang-wenang adalah bahwa topologi yang dihasilkan oleh suatu basis: basis adalah sekumpulan elemen topologi yang diberi elemen apa pun. $U$ dari topologi dan apapun $x\in U$, ada a $B$ di dasar seperti itu $x\in B\subseteq U$. Dasar yang diberikan untuk ruang metrik adalah himpunan semua bola terbuka.

Answer 2

Mempelajari ruang metrik seseorang dengan cepat menyadari peran mendasar yang dimainkan oleh set terbuka (seperti yang didefinisikan dalam posting asli).

Hal ini dibuktikan oleh hasil yang menunjukkan bahwa beberapa gagasan penting lainnya dapat diutarakan dalam istilah set terbuka saja (tidak melibatkan metrik).

Sebagai contoh: fungsi adalah kontinu IFF gambar kebalikan dari setiap terbuka set terbuka; urutan menyatu ke satu titik$a$iff setiap set terbuka berisi$a$ akhirnya berisi semua poin dari urutan.

Hal ini membuat orang curiga bahwa metrik tersebut dapat dibuang, yaitu, jika seseorang mengetahui himpunan mana yang terbuka dan tidak ada yang lain, ia dapat mengembangkan sebagian besar teori tanpa hambatan.

Ini adalah gagasan di balik definisi Topologi, di mana, dengan mengabaikan metrik apa pun, seseorang mendalilkan kumpulan himpunan untuk memanggil himpunan terbuka.