Bukti Batas Rantai Markov

Question

Pertama, maaf atas bahasa Inggris saya yang buruk. Saya mengalami kesulitan untuk membuktikan latihan ini (berasal dari beberapa catatan yang saya miliki di universitas, saya akan belajar untuk master saya tahun depan).

Membiarkan $X$ menjadi rantai Markov tak tereduksi aperiodik di ruang negara hingga $S$. Membiarkan$\pi$jadilah ukuran stasioner. Menganggap$X$ dimulai pada $\pi$. Membiarkan$a,b \in S$. Menunjukkan bahwa:

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(X_0=a, X_n=b) = \pi(a)\pi(b)$

Saya mencoba banyak hal, termasuk kopling, tetapi tidak dapat mengetahuinya. Kiat dan bantuan apa pun akan sangat bagus. Terima kasih!

Answer 1

Tidak bisakah kamu menulis saja \begin{align} \mathbb P(X_0 = a, X_n = b) &= P(X_0 = a) P(X_n = b \vert X_0 = a) \\ &= \pi(a) P^n_a(b), \end{align} dimana $P^n_a$ adalah $n$-langkah kernel rantai Markov dimulai $a$, dan Anda berasumsi bahwa $X_0$ diambil dari $\pi$. Dengan tidak tereduksi dan aperiodisitas, kernel ini menyatu dengan ukuran stasioner dalam batas, jadi Anda hanya mendapatkan$$ \lim_{n \rightarrow \infty} P^n_a(b) = \pi(b),$$dan hasilnya mengikuti. Apa yang saya lewatkan?