Bukti kriteria abel

Question

Saya ingin membuktikan pernyataan berikut:

Biarlah $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ seri konvergen dan $\left(b_k\right)_{n\in\mathbb{N}}$urutan monoton dan dibatasi. Kemudian$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ juga konvergen.

Saya tahu sudah ada beberapa pertanyaan tentang masalah ini, namun sebagian besar memiliki asumsi tambahan (mis $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ dengan $b_k\geq 0$ untuk semua $k$).

---

Pendekatan saya:

Kami mendefinisikan $A_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$. Sebagai$A_n$ konvergen ada batasnya $A$ seperti yang $|A_n|\leq A$ untuk semua $n$. Kami tahu itu$\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ konvergen dan karenanya urutannya $\left(A_kb_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$juga konvergen (hasil kali dua urutan konvergen). Biarlah$n_1$ dan $n_2$ dua indeks untuk semua $n,m$ dengan $n>m>n_1$ itu berlaku $|A_nb_n-A_mb_m|<\frac{\epsilon}{2}$ dan untuk semua $n,m$ dengan $n>m>n_2$ itu berlaku $|b_n-b_m|<\frac{\epsilon}{2A}$. Sekarang kita definisikan$n_0:=\max\{n_1,n_2\}$. Dengan pemikiran ini, kami menerapkan lemma Habel (penjumlahan per bagian) dan mengikuti untuk semua$n>m>n_0$:

$$ |\sum\limits_{k=m+1}^{n} a_kb_k|=|A_nb_n-A_mb_m+\sum\limits_{k=m}^{n-1} A_k(b_k-b_{k+1})|\leq |A_nb_n-A_mb_m|+\sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k(b_k-b_{k+1})| \cdots $$ Jika $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ secara monoton menurun sebagai berikut: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_k-b_{k+1})\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_k-b_{k+1})=\frac{\epsilon}{2}+A (b_m-b_n)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$

Jika $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ meningkat secara monoton sebagai berikut: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_{k+1}-b_k)\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_{k+1}-b_k)=\frac{\epsilon}{2}+A (b_n-b_m)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$ Jadi dalam kedua kasus tersebut $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ memenuhi kriteria Cauchy dan karenanya konvergen.

Apakah ini benar atau apakah ada pendekatan yang lebih elegan / lebih cepat?

Answer 1

Untuk pendekatan lain, kita dapat menunjukkan bahwa urutan jumlah parsial bertemu tanpa menggunakan kriteria Cauchy. Kami memiliki batasan$\lim_{n \to \infty}A_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^na_k =A$ dan $\lim_{n\to \infty}b_n = b .$

Menjumlahkan demi bagian, kita dapatkan

$$S_n =\sum_{k=1}^n a_kb_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^n (A_k - A_{k-1})b_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^{n} A_k b_k- \sum_{k=2}^{n} A_{k-1} b_k \\ = \sum_{k=1}^{n} A_k b_k- \sum_{k=1}^{n-1} A_{k} b_{k+1} = A_nb_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$$

Serialnya $\sum(b_k - b_{k-1}) $ menyatu sejak $\sum_{k=1}^n (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1} \to b_1 - b$ sebagai $n \to \infty$. Sejak$(A_k)$ adalah urutan yang dibatasi dan istilah $(b_k- b_{k+1})$ semuanya adalah tanda yang sama, itu berarti $\sum A_k(b_k - b_{k+1})$ konvergen.

Karena itu, seri $\sum a_kb_k$ menyatu sejak

$$\sum_{k=1}^\infty a_kb_k = \lim_{n \to \infty}A_nb_{n+1} + \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1}) = Ab + \sum_{k=1}^\infty A_k(b_k - b_{k+1})$$

Answer 2

Ini mengikuti dari kriteria Dirichlet. Memang, misalkan$b_k \le b_{k+1}$ dan $\lim b_k = b$.

Kemudian

\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k b_k &= \sum_{k=1}^n a_k b - a_k (b - b_k) \\ &= b\sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n a_k (b - b_k). \end{align}

Jumlah pertama menyatu karena itu adalah hipotesis dan konvergensi jumlah kedua mengikuti dari teorema yang disebutkan di atas.

Tapi ini bukan perbaikan atas argumen Anda karena bukti biasa dari kriteria Dirichlet dilakukan melalui penjumlahan per bagian.