Buktinya langsung $\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$

Question

Sudah diketahui umum hal itu $\mathfrak{su}(2)\equiv\mathfrak{su}(2,\mathbb C)$, aljabar kebohongan nyata dari Hermitian condong tanpa jejak$2\times 2$ matriks kompleks, memuaskan $\mathfrak{su}(2)_{\mathbb C}\simeq \mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$. Untuk melihat ini, cukup untuk mengamati bahwa setiap matriks tanpa jejak$A$ dapat ditulis sebagai $$A = i\left(\frac{A+A^\dagger}{2i}\right) + \left(\frac{A-A^\dagger}{2}\right),$$ di mana kedua komponen tidak memiliki jejak dan miring-Hermitian, dan dekomposisinya unik.

Kami juga tahu itu $\mathfrak{so}(3)\simeq\mathfrak{su}(2)$, dimana $\mathfrak{so}(3)$ adalah aljabar Lie yang sebenarnya dari traceless skew-orthogonal $3\times 3$matriks nyata. Ini mengikuti dari pengamatan bahwa kedua aljabar Lie memenuhi hubungan pergantian yang sama,$[T_i,T_j]=\epsilon_{ijk}T_k$ (atau lebih tepatnya, kita selalu dapat menemukan basis untuk kedua ruang yang memenuhi hubungan tersebut).

Ini juga harus menyiratkan hal itu $\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$(seperti yang juga disebutkan secara sepintas dalam jawaban ini ), tetapi bagaimana saya dapat menunjukkan bahwa ini masalahnya secara lebih langsung? Sejauh yang saya mengerti, pernyataan ini harus berarti, mengingat tanpa jejak$2\times 2$ matriks kompleks $A$, ada pengiriman bijection $A$ ke dua $3\times 3$matriks ortogonal condong nyata. Apa dekomposisi ini?

Answer 1

Cara paling langsung adalah komputasi langsung dari isomorfisme aljabar Lie $\phi \colon \mathfrak{sl}_2(\Bbb C)\rightarrow \mathfrak{so}_3(\Bbb C)$. Satu menyiapkan matriks$\phi=(a_{ij})$ dengan parameter $a_{ij}\in \Bbb C$, lalu menulis ulang identitas (menggunakan tanda kurung Lie $[x,y]_1$ dan $[x,y]_2$ untuk dua aljabar tertentu) $$ \phi([e_i,e_j]_1)=[\phi(e_i),\phi(e_j)]_2 $$ sehubungan dengan dasar standar $\mathfrak{sl}_2(\Bbb C)$dengan persamaan polinomial untuk variabel-variabel ini. Persamaan-persamaan ini cukup mudah dipecahkan, karena syaratnya$\det(\phi)\neq 0$ sangat kuat.

Akhirnya kami mendapatkan solusi $\phi$, yang tidak perlu unik, jadi kedua aljabar Lie itu isomorfik.

Referensi:

Lie aljabar isomorfisma antara ${\rm sl}(2,{\bf C})$ dan ${\bf so}(3,\Bbb C)$

Isomorfisme Eksplisit Antara Aljabar Lie Ortogonal Tiga Dimensi dan Aljabar Lie Linear Khusus Dimensi $3$