Bundel dan ledakan normal

Question

Mari kita kerjakan ruang proyektif yang kompleks: pertimbangkan variasi yang halus $X$ dan subvarietas $Y$. Saya belajar itu, jika kita melakukan peledakan$X$ dengan pusat $Y$, kami mendapatkan varietas baru $\tilde{X}$, bersama dengan peta $\pi: \tilde{X}\to X$, yang merupakan isomorfisme di luar lokus luar biasa, yaitu $Y$.

Meskipun saya tidak memiliki referensi yang tepat, telah diberitahukan kepada saya bahwa pembagi luar biasa dari $Y$, itulah gambar kebalikannya $\pi^{-1}(Y)$, bertepatan dengan bundel proyektif dari bundel normal, yaitu,

$$\tilde{Y}=\pi^{-1}(Y)\simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X}^\vee)=(\mathcal{N}_{Y\mid X}\setminus Y)/\sim,$$

dimana $\sim$ adalah tindakan standar $\mathbb{C}$.

Pertanyaan:

• Apa rujukan yang baik dari konstruksi ini? Saya tahu ini adalah isi Teorema II.8.24 geometri Aljabar Hartshorne, tetapi tanpa pengetahuan tentang teori skema (dan konstruksi proyek, dan berkas berkas yang koheren) agak sulit, jadi mungkin ada teks yang lebih mudah diakses;
• Dalam hal. 86-87 dari catatan ini ( https://www.math.ens.fr/~debarre/M2.pdf ), kita mulai dengan kurva rasional $\Gamma^+$ di $X^+$ dengan bundel normal $\mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-2)$: kemudian penulis melakukan ledakan bersama $\Gamma^+$, dan mengklaim bahwa pembagi luar biasa adalah $$S^+_1=\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(1))$$ tetapi menggunakan rumus di atas seharusnya $\mathbb{P}(\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(2))$: apa yang saya lewatkan?

Answer 1

Pernyataan Anda kehilangan hipotesis: kami juga perlu $Y$menjadi nonsingular. Bagaimanapun, referensi alternatif adalah bagian 22.3 dari "Laut yang Meningkat: Dasar Geometri Aljabar" Vakil , yang umumnya dianggap sebagai referensi yang lebih mudah diakses daripada Hartshorne. Vakil tidak memberikan bukti pernyataan yang Anda inginkan — ini Latihan 22.3.D — tetapi petunjuk ke latihan mungkin memberikan beberapa panduan berguna tentang cara membuktikannya.

Sayangnya, saya tidak mengetahui referensi untuk pernyataan ini yang tidak menggunakan bahasa skema, konstruksi Proj, dan berkas gandum semu setidaknya sampai batas tertentu.

Untuk menjawab pertanyaan kedua Anda, kedua bundel proyektif adalah isomorfik, karena bundel proyektif tidak berubah jika Anda tensor dengan bundel garis. Ini adalah latihan 17.2.G dalam catatan Vakil, dan Lemma II.7.9 di Hartshorne. Referensi lain untuk pernyataan umum adalah Proyek Tumpukan, tag 02NB . Secara khusus, untuk semua$c \in \mathbb{Z}$, kita punya $$\mathbb{P}(\mathcal{O}(a) \oplus \mathcal{O}(b)) \cong \mathbb{P}(\mathcal{O}(a + c) \oplus \mathcal{O}(b + c)).$$