Dapatkah komposisi polinomial integer dan polinomial rasional dengan koefisien non-integer dapat menghasilkan polinomial integer?

Question

Bisakah kita menemukan dua polinomial $p(x)$ dan $q(x)$, dimana $p(x)$ adalah polinomial monik non-konstan atas bilangan bulat dan $q(x)$ adalah polinomial monik atas rasio dengan setidaknya satu koefisien non-bilangan bulat, sehingga komposisinya $p(q(x))$itu polinomial atas bilangan bulat? Jika tidak, bagaimana cara membuktikannya?

Misalnya mari $q(x)=x^2+\frac{1}{2}x+1$ dan $p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, kemudian $p(q(x))=x^6+\frac{3}{2}x^5+\dots$, jadi apa pun bilangan bulatnya $a_i$kami memilih, polinomial yang dihasilkan akan memiliki koefisien non-integer. Kondisi biara itu penting, karena kalau tidak kita bisa berkembang biak$p(x)$dengan bilangan bulat seperti itu yang akan menjamin semua koefisien menjadi bilangan bulat. Saya telah mencoba melihat koefisien dalam komposisi untuk polinomial umum, yang menurut saya harus mengikuti rumus ini:

\ mulai {sejajarkan} [x ^ r] p (q (x)) = \ sum_ {k_1 + 2k_2 + \ titik + mk_m = r} \ sum_ {k_0 = 0} ^ {n- (k_1 + \ titik + k_m)} \ binom {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} {k_0, k_1, \ dots, k_m} a_ {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} \ kiri (\ prod_ {j = 0} ^ {m} b_j ^ {k_j} \ kanan) \ end {align} (di sini$a_i$ dan $b_i$ adalah koefisien dari $p(x)$ dan $q(x)$ dengan derajat $n$ dan $m$, masing-masing). Namun sama sekali tidak jelas koefisien mana yang harus difokuskan untuk membuktikannya akan memberikan bilangan non-integer.

Ini muncul saat mencoba memecahkan https://math.stackexchange.com/questions/3785073/infinitely-many-solutions-leads-to-existence-of-a-polynomial, tapi tampaknya cukup menarik dengan sendirinya.

Answer 1

Bahkan, kita mungkin mengabaikan asumsi itu $q$adalah monik. Komposisi$p \circ q$ tidak boleh memiliki semua koefisien integer.

Untuk membiarkan $p$ menjadi faktor prima dari beberapa penyebut yang disederhanakan dari koefisien $q$. Pertimbangkan yang terbesar$k$ st $p^k$ adalah faktor dari beberapa penyebut a $q$koefisien. Kemudian tulis polinomialnya$q$ sebagai $x^j w(x) / p^k + s(x)$, di mana setiap pembilang yang sepenuhnya disederhanakan dari $w(x)$ tidak dapat dibagi oleh $p$ dan tidak ada penyebut yang sepenuhnya disederhanakan $s(x)$ habis dibagi $p^k$, dan dimana $w$memiliki suku konstanta bukan nol. Lakukan ini dengan mengelompokkan semua suku dengan penyebut yang habis dibagi$p^k$, memperoleh $x^j w(x) / p^k$, dan semua suku dengan penyebut yang tidak habis dibagi $p^k$, memperoleh $x(x)$.

Membiarkan $n$ menjadi derajat $p$, dan pertimbangkan koefisien $x^{jn}$ di $p \circ q$. Salah satu ringkasan kontribusi adalah$w(0)^n / p^{kn}$, yang disederhanakan sepenuhnya. Dan tidak ada satupun dari penjumlahan lain yang memiliki penyebut yang habis dibagi$p^{kn}$. Jadi koefisien ini bukan bilangan bulat.