Definisi pasti positif

Question

Saya melihat catatan di http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~s.settepanella/teachingfile/Calculus/Calculus1/pagine/lecture8.pdf.

Dikatakan bahwa berikut ini setara untuk simetris $H$:

(1) $H$ pasti positif.

(2) $x^THx > 0$

(3) $\lambda_i(H) > 0$

(4) $\det(H) > 0$ ! ??????

(5) Entri diagonal $H_{ii}$ positif! ?????

(4) dan (5) sepertinya bukan milik mereka. (4) adalah kondisi yang diperlukan$H$menjadi pasti positif, tetapi tidak cukup. Pertimbangkan a$2 \times 2$matriks dengan 2 nilai eigen negatif. Matriks tersebut tidak pasti positif tetapi memiliki determinan positif. Saya sebenarnya belum pernah mendengar (5) sebelumnya kecuali kita berbicara tentang matriks diagonal. Bukankah yang ini salah juga?

Answer 1

(4) salah. Untuk mempertimbangkan counterexample$H = -I$ dimana $I$ adalah $2\times 2$matriks identitas. Kemudian untuk angka bukan nol$x$, kita punya $x^T H x = -x^T x < 0$, jadi $H$ tidak pasti positif.

(5) juga salah. Mempertimbangkan$H = \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, yang memiliki determinan $-3$. Ini berarti salah satu nilai eigennya negatif; khususnya,$\lambda = -1$ adalah nilai eigen dengan, misalnya, vektor eigen $x = \displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$. Kemudian$x^T H x = x^T(Hx) = x^T(\lambda x) = -x^T x < 0$, jadi $H$ tidak pasti positif.