Definisi yang tidak biasa dari set Cantor

Question

Saya telah melihat banyak definisi set penyanyi tetapi semuanya terlihat berbeda dari milik saya. Buku saya mendefinisikan kumpulan penyanyi sebagai:

Himpunan semua bilangan real formulir $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}3^{-n}$ dimana $a_{n}$ mengambil salah satu nilai $0$ atau $2$.

Bagaimana ini satu set? Saya tidak mengerti apa yang mereka maksud dengan "di mana$a_{n}$ mengambil salah satu nilai $0$ atau $2$"apakah itu berarti itu $a_{n}$ bergantian seperti $0$, $2$, $0$, $2$? Bisakah kalian memberi saya beberapa nilai di set ini? Dan apa hubungannya dengan gambar yang saya lihat di mana-mana?

Answer 1

Buku Anda berarti bahwa kumpulan penyanyi adalah kumpulan angka $x$ yang mungkin untuk ditulis dalam formulir $\sum_{n=1}^{\infty}a_n3^{-n}$ untuk beberapa urutan $a_n$ dimana masing-masing $a_n$ baik $0$ atau $2$. Sedikit kurang padat, Anda bisa mengatakan:

• Nomor masuk $[0,1]$ berada dalam himpunan Cantor jika dapat ditulis dua kali jumlah pangkat berbeda $3$.

• Sebuah angka $x$ di $[0,1]$ berada di himpunan Cantor jika memiliki ekspansi terner yang tidak pernah menggunakan a $1$. (Ini sama seperti di atas, menyadari bahwa ekspansi terner hanyalah "tulis koma desimal lalu sekumpulan angka$\{0,1,2\}$ dan pertimbangkan jumlah dari $n^{th}$ istilah kali $3^{-n}$ atas semuanya $n$")

Yang khusus $x$ dimana $a_n$ bergantian antara $0$ dan $2$ karena itu dalam set Cantor (ini $x$ menyamai $1/4$), tetapi ada banyak urutan lainnya yang tak terhitung banyaknya $a_n$ yang satu-satunya nilai $0$ dan $2$, yang semuanya menghasilkan elemen berbeda dari set Cantor.

Gambar yang Anda tunjukkan menunjukkan pembuatan set yang sama dengan mengambil interval dan berulang kali menghapus sepertiga tengah dari setiap interval. Ini menghasilkan rangkaian rangkaian yang semakin kecil dan semakin kecil - dan perpotongan dari semua rangkaian tersebut adalah rangkaian penyanyi, dan merupakan rangkaian yang persis sama yang ditentukan oleh buku Anda. Kesetaraan paling jelas dalam ekspansi terner:

Pada awalnya, Anda memiliki interval $[0,1]$. Anda kemudian menghapus intervalnya$(1/3,2/3)$ karena suku pertama dari ekspansi terner mereka haruslah $.1\ldots_3$, artinya mereka tidak dapat ditulis dalam bentuk yang diinginkan. Lalu, Anda hapus$(1/9,2/9)$ dan $(7/9,8/9)$ yang ekspansi ternernya dimulai $.01\ldots_3$ dan $.21\ldots_3$ karena, sedangkan digit pertamanya oke (sedang $0$ atau $2$), digit kedua mereka tidak. Anda kemudian akan menghapus angka-angka yang perluasan ternernya dimulai$.001\ldots_3$ atau $.021\ldots_3$ atau $.201\ldots_3$ atau $.221\ldots_3$ dan seterusnya - dan satu-satunya nomor yang tersisa di akhir adalah yang dapat ditulis dengan ekspansi terner yang hanya berisi $0$dan $2$'s - tepatnya adalah kumpulan angka yang dapat ditulis dalam bentuk yang dibuat oleh buku Anda.