Dekomposisi Operator Linear di Hilbert Spaces

Question

Menggunakan formalisme Dirac tentang Mekanika Kuantum, jika ruang Hilbert kompleks $\mathscr{H}$ diberikan, elemen $\mathscr{H}$ dilambangkan dengan $|x\rangle$ dan elemen gandanya $\mathscr{H}’$ dilambangkan dengan $\langle x|$. Terkadang, jika dihitung secara hitung$\{ |n\rangle : n \in \Bbb N\}$ diberikan, rumus seperti yang berlaku berikut ini $$ \mathbf{1} = \sum_{n \in \Bbb N} |n\rangle\langle n|.$$ Ini adalah rumus yang cukup jelas jika $\mathscr{H}$adalah ruang yang dapat dipisahkan (yaitu dengan dasar yang dapat dihitung). Seringkali, bagaimanapun, jika ada dasar yang tak terhitung$\{ |x\rangle : x \in \Bbb R\}$, rumus serupa digunakan: $$ \mathbf{1} = \int |x\rangle\mathrm{d}x\langle x | $$ yang bisa dimengerti dalam notasi Dirac, tapi saya tidak memahaminya secara formal.

Dalam teori ruang Hilbert,

1. Apa operator proyeksi $|x\rangle\langle x|$ dan apa artinya?
2. Dalam arti apa integral itu berlaku?

Terima kasih atas bantuannya.

Answer 1

Kasus kontinu didasarkan pada transformasi Fourier, sebagai lawan dari deret Fourier. Misalnya, perhatikan kasus transformasi Fourier aktif$\mathbb{R}$: $$ f = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(s)e^{isx}ds = \int_{-\infty}^{\infty}\langle f,e_s\rangle e_sds,\;\;\; e_s(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{isx}. $$ Perhatikan kesamaan formalisme deret Fourier $$ f = \sum_{s=-\infty}^{\infty}\langle f,e_s\rangle e_s,\;\;\; e_s(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{isx}. $$Perlakuan Dirac terlalu disederhanakan dalam kasus kontinu, dan notasinya tidak begitu bagus bila ada campuran spektrum kontinu dan diskrit. Tapi itu pemikiran yang diperhitungkan dalam hal formalisme Dirac, dan pemikiran tersebut adalah perpanjangan elegan dari deret Fourier ke integral Fourier dan / atau perpaduan integral Fourier dan ekspansi deret Fourier.

Ekspansi umum tidak sepenuhnya ditangani oleh ekspansi "diskrit" dan "benar-benar kontinu", tetapi Fisikawan jarang perlu mempertimbangkan ukuran yang "tunggal" sehubungan dengan ukuran Lebesgue, tetapi tidak diskrit. Masalah yang dianggap Dirac tidak membutuhkannya.