Determinan dari matriks Toeplitz tertentu
Hitung determinan berikut
\ mulai {vmatrix} x & 1 & 2 & 3 & \ cdots & n-1 & n \\ 1 & x & 1 & 2 & \ cdots & n-2 & n-1 \\ 2 & 1 & x & 1 & \ cdots & n-3 & n-2 \\ 3 & 2 & 1 & x & \ cdots & n-4 & n-3 \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \ cdots & x & 1 \\ n & n-1 & n-2 & n-3 & \ cdots & 1 & x \ end {vmatrix}
Saya mencoba yang berikut ini. Saya mengurangi baris kedua dari yang pertama, yang ketiga dari yang kedua, yang keempat dari yang ketiga, dan seterusnya. Saya mendapatkan:
\ mulai {vmatrix} x-1 & 1-x & 1 & 1 & \ cdots & 1 & 1 \\ -1 & x-1 & 1-x & 1 & \ cdots & 1 & 1 \\ -1 & - 1 & x-1 & 1-x & \ cdots & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & x-1 & \ cdots & 1 & 1 \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ -1 & -1 & -1 & -1 & \ cdots & x-1 & 1-x \\ n & n-1 & n-2 & n-3 & \ cdots & 1 & x \ end {vmatrix}
Saya melakukan hal yang sama dengan kolom. Saya mengurangi baris kedua dari yang pertama, yang ketiga dari yang kedua, yang keempat dari yang ketiga, dan seterusnya. Dan saya mendapat:
\ mulai {vmatrix} 2x-2 & -x & 0 & 0 & \ cdots & 0 & 1 \\ -x & 2x-2 & -x & 0 & \ cdots & 0 & 1 \\ 0 & -x & 2x -2 & -x & \ cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -x & 2x-2 & \ cdots & 0 & 1 \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & 2x-2 & 1-x \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \ cdots & 1-x & x \ end {vmatrix}
Saya harap saya tidak membuat kesalahan di suatu tempat. Dengan bagian ini saya tidak tahu apa yang harus saya lakukan selanjutnya. Saya tidak tahu apakah saya melakukannya dengan benar. Terima kasih sebelumnya !
Jawaban
Membiarkan $A_{n+1}$ menunjukkan determinan dari $(n+1)\times (n+1)$matriks dalam pertanyaan. Dengan ekspansi Laplace pada baris pertama, kita mendapatkan:$$A_{n+1} = (2x-2)A_n + xB_n + (-1)^nC_n,$$ dimana $$B_n := \det \begin{bmatrix} -x & -x & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & 2x-2 & -x & \cdots & 0 & 1\\ 0 & -x & 2x-2 & \cdots & 0 & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2x-2 & 1-x\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1-x &x \end{bmatrix} $$ dan $$C_n := \det\begin{bmatrix} -x & 2x-2 & -x & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -x & 2x-2 & -x & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -x & 2x-2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 2x-2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1-x \end{bmatrix} $$ Memperluas keduanya $B_n$ dan $C_n$ di atas kolom pertama, kita dapatkan $$B_n = (-x) A_{n-1} + (-1)^{n+1}C_{n-1}$$ dan $$C_n = (-x)C_{n-1} + (-1)^{n+1} D_{n-1},$$ dimana $D_n$ adalah penentu berikut ini $n\times n$Matriks Tridiagonal Toeplitz : \ begin {bmatrix} 2x-2 & -x & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ -x & 2x-2 & -x & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & -x & 2x -2 & -x & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & -x & 2x-2 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & 2x-2 \ end {bmatrix} Ini dinyatakan dalam urutan Lucas dan fungsi pembangkitannya sebagai berikut: \ begin {split} D_n & = U_ {n + 1} (2x-2 , x ^ 2) \\ & = \ frac {(x-1 + \ sqrt {1-2x}) ^ {n + 1} - (x-1- \ sqrt {1-2x}) ^ {n + 1 }} {2 \ sqrt {1-2x}} \\ & = [z ^ n] \ \ frac {1} {1- (2x-2) z + x ^ 2z ^ 2}. \ end {split}
Memasukkan rumus perulangan untuk $B_n$ menjadi itu untuk $A_{n+1}$, kita mendapatkan $$(\star)\qquad A_{n+1} = (2x-2)A_n - x^2 A_{n-1} + (-1)^{n+1}xC_{n-1} + (-1)^n C_n.$$
Kami sekarang memiliki semua bahan untuk mendapatkan ekspresi bentuk tertutup $A_n$.
Mempertimbangkan $C_1=1-x$, kami membuka pengulangan untuk $C_n$untuk mendapatkan: \ begin {split} C_n & = (-x) ^ {n-1} (1-x) + (- 1) ^ {n + 1} \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} x ^ {n-1-i} D_i \\ & = (-x) ^ n + (- 1) ^ {n + 1} [z ^ {n-1}] \ \ frac {1} {(1-xz ) (1- (2x-2) z + x ^ 2z ^ 2)}. \ end {split} Kita akan membutuhkan fungsi pembangkit: \ begin {split} \ mathcal {C} (z) &: = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ {n-1} C_n z ^ {n-1} \\ & = \ frac {1} {(1-xz) (1- (2x-2) z + x ^ 2z ^ 2)} - \ frac {x} {1-xz } \\ & = \ frac {1-x + (2x-2) xz-x ^ 3z ^ 2} {(1-xz) (1- (2x-2) z + x ^ 2z ^ 2)}. \ end {split}
Tentukan fungsi pembangkit untuk $A_n$: $$\mathcal{A}(z) := \sum_{n=1}^{\infty} A_n z^n.$$
Sekarang, mari kalikan pengulangannya $(\star)$ oleh $z^{n-1}$ dan jumlah $n\geq 2$ untuk memperoleh: $$\frac{\mathcal{A}(z) - A_1z - A_2z^2}{z^2} = (2x-2)\frac{\mathcal{A}(z) - A_1z}z - x^2\mathcal{A}(z) - xz\mathcal{C}(z) - (\mathcal{C}(z)-C_1),$$ menyiratkan itu $$\mathcal{A}(z) = \frac{z(x^5z^4-4x^4z^3+4x^3z^3+6x^3z^2-8x^2z^2-4x^2z+3xz^2+4xz+x-z)}{(1-xz)(1-(2x-2)z+x^2z^2)^2}$$dan dengan demikian \ begin {split} A_n & = \ frac12 D_n + \ frac {n + 1-x} 2 D_ {n-1} + \ frac {x ^ n} 2 \\ & = \ frac {(n + \ sqrt {1-2x}) (x-1 + \ sqrt {1-2x}) ^ n- (n- \ sqrt {1-2x}) (x-1- \ sqrt {1-2x}) ^ n} { 4 \ sqrt {1-2x}} + \ frac {x ^ n} 2. \ end {split}
MEMPERBARUI. Cara lain untuk melanjutkan dari pengulangan untuk$A_n$, $B_n$, $C_n$, dan $D_n$ adalah menggabungkannya menjadi satu pengulangan matriks: $$ \begin{bmatrix} A_{n+1}\\ B_{n+1}\\ (-1)^{n+1}C_{n+1}\\ D_{n+1} \\ D_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x-2 & x & 1 & 0 & 0\\ -x & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & x & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2x-2 & -x^2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} A_{n}\\ B_{n}\\ (-1)^{n}C_{n}\\ D_{n} \\ D_{n-1}\end{bmatrix}. $$ Dari polinomial karakteristik matriks di rhs, kita mendapatkan pengulangan untuk $A_n$: $$A_n = (5x - 4)A_{n-1} + (-10x^2 + 12x - 4)A_{n-2} + (10x^3 - 12x^2 + 4x)A_{n-3} + (-5x^4 + 4x^3)A_{n-4} + x^5A_{n-5},$$ yang darinya mudah untuk mendapatkan rumus eksplisit.
PS. Sampai dengan perubahan$x$ untuk $-x$, $A_n$mewakili polinomial karakteristik dari matriks jarak, juga dikenal sebagai polinomial jarak , dari grafik jalur$P_n$. Rumus lain (dalam hal polinomial Chebyshev) diberikan dalam OEIS A203993 .