Di batas untuk norma yang tegas

Question

Membiarkan $H$menjadi ruang Hilbert yang kompleks, berdimensi tak hingga, dapat dipisahkan. Perbaiki dua operator bukan nol$A,B \in B(H)$ seperti yang $B$ bukan kelipatan skalar dari $A$. Diketahui bahwa:

$$ \| R_A (z) \| \rightarrow 0 \quad \text{when}\, |z| \rightarrow +\infty $$

Ini dengan mudah mengikuti dari:

$$\|R_A(z) \| \leq \frac{1}{|z| - \| A \|} \quad \forall z \in \mathbb{C} : |z| > \| A \|$$

Sekarang perhatikan operatornya $A+ cB$ dimana $c$ adalah bilangan real positif, dan memperbaiki beberapa bilangan kompleks $z$. Bisakah kita mengatakan itu, untuk semua$\epsilon >0$, disana ada $M>0$ seperti yang:

$$ c > M \, \, \text{such that} \, \, z \not \in \sigma(A+cB) \Rightarrow \|R_{A+cB} (z)\| < \epsilon$$

Secara intuitif , untuk$c \rightarrow +\infty$, kami akan memiliki:

$$ R_{A+cB}(z)=(z-A-cB)^{-1}= c^{-1}(z/c - A/c -B)^{-1} "\rightarrow" 0$$

karena $|z/c| \rightarrow 0$, $\|A\| / c \rightarrow 0$, $1/c \rightarrow 0$ dan $B$telah diperbaiki. Namun, saya tidak mengetahui adanya referensi untuk hasil semacam ini. Apakah ada yang punya referensi atau bukti tentang ini?

Answer 1

Seperti yang telah diamati Michael: Sangat mudah untuk membuat contoh yang berlawanan jika $B$ memiliki kernel nontrivial $N(B)$ dan $A$ peta $N(B)$ ke dalam dirinya sendiri, sejak itu $N(B)$ ukuran dari $c$ tidak memainkan peran.

Tapi meski begitu $B$ adalah isomorfisme, bahkan identitas $B=I$, dugaannya salah: $z-A-cB=(z-c)-A$. Maksimum norma kebalikan (atas semua$z$ dari himpunan resolvent yang sesuai) jelas tidak bergantung $c$.

Pokoknya, jika $B$adalah isomorfisme, ada beberapa perkiraan:

Ada pegangan $(z-A-cB)^{-1}=B^{-1}((z-A)B^{-1}-c)^{-1}$, dan seseorang dapat menggunakan estimasi penyelesai yang disebutkan dalam pertanyaan untuk mendapatkan $$\|R_{A+cB}(z)\|\le\|B^{-1}\|\frac1{|c|-\|(z-A)B^{-1}\|}.$$ Ini memberikan perkiraan jika $|c|$ lebih besar dibandingkan dengan $|z|\|B^{-1}\|$.

Jika $|z|$ lebih besar dibandingkan dengan $|c|\|B\|$, perkiraan dari pertanyaan dapat digunakan.

Jika tidak ada kasus, tidak perlu ada perkiraan yang baik seperti yang disebutkan di atas ($B=I$).