Ekspansi operator eksponensial

Question

Dalam kuliah saya, profesor membahas bahwa untuk operator linier eksponensial $$ \exp(\lambda A + \lambda B) \neq \exp(\lambda A)\exp(\lambda B) $$ untuk $AB\neq BA$.

Sekarang saya tahu bahwa operator eksponensial memiliki definisi yang mirip dengan fungsi eksponensial. Jadi harus ada juga pengertian seri Taylor untuk operator.

Mari kita asumsikan $\lambda \ll 1$ sedemikian rupa sehingga kita bisa mengabaikan $O(\lambda^3)$ tapi kita harus menjaga urutan kedua di bilangan real $\lambda$. Jika eksponen dari operator eksponensial hanya terdiri dari satu operator kecil berbentuk$$ \exp(A+\lambda B) $$ dapatkah kami memperluas ke urutan kedua dalam $\lambda$ seperti yang $$ \exp(A+\lambda B)\approx \exp(A) + \exp(A)\lambda B + \frac{1}{2}\exp(A) \lambda^2 B^2 + .....? $$ Saya percaya bahwa ini bukan masalahnya karena kami juga punya $$ \exp(A)\exp(\lambda B)\approx \exp(A) (I+\lambda B + \frac{1}{2} \lambda^2 B^2 + .....) $$ yang sama seperti di atas dan yang bertentangan $AB\neq BA$.

Definisi operator eksponensial juga dapat diterapkan secara langsung $$ \exp(A+\lambda B) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(A+\lambda B)^n}{n!} $$ tapi saya tidak yakin bagaimana cara menguraikan "$A$"bagian (dengan asumsi kita bisa mengabaikan $O(\lambda^3)$) dan juga bagaimana ekspansi Taylor akan berhasil diterapkan pada operator semacam itu tanpa menabrak kontradiksi tersebut.

Terima kasih sebelumnya!

Answer 1

Ekspansi sebenarnya adalah $$\eqalign{\exp(A + \lambda B) &= \sum_{j=0}^\infty \frac{(A+\lambda B)^j}{j!}\cr &= \sum_{j=0}^\infty \sum_{k=0}^j \frac{P_{j,k}(A,B)}{j!} \lambda^k}$$ dimana $P_{j,k}$ adalah jumlah produk dari $j$ faktor (di semua urutan) yang mana $k$ adalah $B$ Dan lainnya $j-k$ adalah $A$. Jadi koefisien$\lambda^0$ dalam perluasan $\exp(A+\lambda B)$ adalah $\exp(A)$, tetapi koefisien $\lambda^1$ adalah $$ \sum_{j=1}^\infty P_{j,1}(A,B)/j! = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=0}^{j-1} A^i B A^{j-i-1}/j!$$ Tentu tidak sesederhana itu $\exp(A) B$.

EDIT: Anda bisa menulis $$ \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=0}^{j-1} \frac{A^i B A^{j-i-1}}{j!} = \sum_{i=0}^\infty A^i B f_i(A)$$ dimana $$f_i(x) = \sum_{j=i+1}^\infty \frac{x^{j-i-1}}{j!} = \frac{\exp(x) (i! - \Gamma(i+1,x))}{x^{i+1} i!} $$ dan $\Gamma(\cdot, \cdot)$ adalah fungsi Gamma yang tidak lengkap.

EDIT: Untuk koefisien $\lambda^2$, Anda ingin mempertimbangkan semua produk dengan dua $B$'s. Begitu$$ \sum_{j=2}^\infty \sum_{i=0}^{j-2} \sum_{k=0}^{j-2-i} \frac{A^i B A^k B A^{j-2-i-k}}{j!} $$

Answer 2

Cara standar untuk berkembang $e^{A+\lambda B}$ adalah seri Dyson https://en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series.

Saya akan memberikan derivasi yang saya tahu, meskipun saya yakin pasti ada referensi online yang bagus, saya sepertinya tidak bisa melacaknya:

Mempertimbangkan $e^{A+\lambda B}=e^{N((A+\lambda B)/N)}= \prod_{k=1}^N e^{(A+\lambda B)/N} $

Jadi $${d\over d\lambda}e^{A+\lambda B}=\sum_k e^{(k-1)((A+\lambda B)/N)}{d\over d\lambda}[e^{(A+\lambda B)/N}]e^{(N-k)((A+\lambda B)/N)}$$ Kami diizinkan untuk membuatnya $N$ sebesar yang kami inginkan, dan dalam batas tertentu kami dapat memperluas turunannya ke urutan pertama $1\over N$ mendapatkan $${d\over d\lambda}[e^{(A+\lambda B)/N}]\rightarrow {d\over d\lambda}[1+{(A+\lambda B)/N}]= B/N$$ mengembalikan semuanya dan pergi ke batas kontinum (jumlah ke integral): $${d\over d\lambda}e^{A+\lambda B} = \int_0^1 e^{\tau (A+\lambda B)}Be^{(1-\tau) (A+\lambda B)} d\tau $$ Jadi untuk urutan pertama $\lambda$ :

$e^{A+\lambda B}\sim e^A +\lambda \int_0^1 e^{\tau A}Be^{(1-\tau) A}d\tau+\cdots$

Pesanan yang lebih tinggi itu mudah, tetapi tidak praktis.