Ergodisitas dalam transformasi

Question

Seharusnya $\Omega := [0,1]^{\mathbb Z}$ dilengkapi dengan topologi produk dan diberkahi dengan Borel $\sigma$-aljabar $\mathcal B(\Omega)$ dan ada ukuran probabilitas $\mathbb P$ di $(\Omega,\mathcal B(\Omega))$ sehingga pergeseran itu $T:\Omega \to \Omega$, $$T(\omega)(k) := \omega(k+1),\quad \omega\in\Omega,k\in \mathbb Z$$ adalah ukuran pelestarian, yaitu $\mathbb P = \mathbb P \circ T^{-1}$ di $\mathcal B(\Omega)$, dan ergodik, yaitu $A=T^{-1}(A)$ menyiratkan $\mathbb P (A)\in\{0,1\}$ untuk apapun $A\in\mathcal B(\Omega)$. Sekarang biarkan$f:[0,1]^3\to[0,1]$ fungsi terukur dan $U:\Omega \to \Omega$ transformasi yang ditentukan oleh $$ U(\omega)(k) := f(\omega(2k-1),\omega(2k),\omega(2k+1)),\quad \omega\in\Omega,k\in\mathbb Z.$$ Kami mempertimbangkan ukuran probabilitas $\widetilde {\mathbb P}:= \mathbb P\circ U^{-1}$ dimana $U^{-1}$ menunjukkan preimage tersebut.

Kemudian, dengan $T\circ U= U\circ T^2$, itu memegangnya $(\Omega,\mathcal B(\Omega), \widetilde {\mathbb P},T)$masih merupakan sistem dinamis yang menjaga ukuran. Apakah ini juga ergodik?

Sunting: Apa contoh ukuran probabilitas$\mathbb P$ di $\mathcal B(\Omega)$ dan set $A\in\mathcal B(\Omega)$ seperti yang $T^{-2}(A)=A$ tapi $\mathbb P(A)\notin \{0,1\}$ (dan karenanya perlu $T^{-1}(A)\neq A$)?

Answer 1

Jawabannya negatif: Biarkan \begin{align*} \mathbb P &:= \frac 1 2 \left(\delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} + \delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z+1}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} \right), \\ A &:= \left\lbrace (1)_{k\in\mathbb Z} \right\rbrace ,\\ f(x,y,z) &:= y. \end{align*}

Kemungkinannya $\mathbb P$ sesuai dengan rantai Markov yang tidak dapat direduksi di ruang negara $\{0,1\}$ dengan matriks transisi $P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$ yang memiliki distribusi stasioner yang unik $(\frac 1 2 \,\,\, \frac 1 2)$. Mengingat jawaban untuk pertanyaan matematika.SE ini sistem dinamika$(\Omega,\mathcal B(\Omega),\mathbb P, T)$adalah pengawet ukuran dan ergodik (tetapi tidak mencampur). Sekarang,$T^{-1}(A)=A$ tapi $$U^{-1}(A) = \prod_{k\in \mathbb Z} \begin{cases} \{1\},&\quad k\in 2 \mathbb Z \\ [0,1],&\quad k\in 2\mathbb Z+1\end{cases}, $$ darimana $\widetilde{\mathbb P}(A) = \frac 1 2 $.