$f(xf(x)) = 2f(x)$

Question

Pertanyaannya mengatakan

Temukan semua fungsi yang memuaskan$$f(xf(x)) = 2f(x)$$.

Dengan membandingkan derajat kedua ruas persamaan tersebut, orang dapat dengan mudah melihat itu $f$tidak boleh polinomial bukan nol atau fungsi daya. Fungsi yang memenuhi persamaan fungsional yang saya temukan sejauh ini adalah fungsi trivial$f(x) =0$. Adakah yang bisa menunjukkan cara untuk menemukan yang lain atau membuktikan bahwa yang saya temukan hanyalah satu? Terima kasih sebelumnya.

Answer 1

Mari kita mencari semua solusi kontinu (pembatasan sangat ketat!)$\Bbb R\to\Bbb R$ (domain yang memungkinkan banyak alat!).

---

Dengan $x=0$, kami temukan $f(0)=0$.

Jika $f(x_0)=1$, kemudian $$2=2f(x_0)=f(x_0f(x_0))=f(x_0)=1,$$kontradiksi. Kami menyimpulkan$f(x)\ne1 $ untuk semua $x$.

Jika $y=f(x)$ adalah dalam gambar $f$, lalu begitu juga $2y=f(xf(x))$. Secara khusus, jika$f$ mencapai nilai positif apa pun, lalu $f$tidak dibatasi dari atas. Tetapi kemudian Teorema Nilai Menengah menyiratkan hal itu$1$ adalah dalam gambar $f$. Kami menyimpulkan itu$f(x)\le 0$ untuk semua $x$.

Dan jika $f$ mencapai nilai negatif apa pun $f$tidak dibatasi dari bawah. Kemudian$f(x_1)=-\frac12$ untuk beberapa $x_1$. Kemudian$$ f(-\tfrac12x_1)=f(x_1f(x_1))=2f(x_1)=-1.$$ Dengan IVT lagi, ada $x_2$ antara $0$ dan $-\frac12x_1$ dengan $f(x_2)=-\frac12$. Dengan mengulangi proses ini, kami mendapatkan urutan$\{x_n\}$ seperti yang $f(x_n)=-\frac 12$ dan $|x_{n+1}|<\frac12|x_n|$, yaitu, $x_n\to 0$. Sebagai$f(0)=0$, ini bertentangan dengan kontinuitas.

Kami menyimpulkan bahwa satu-satunya solusi berkelanjutan $f\colon \Bbb R\to\Bbb R$ adalah solusi yang sepele.