Fibrant Replacement Functor: aksinya pada morfisme

Question

Saya membaca di bawah ini di Kategori Model oleh Hovey.

Dan sebelum kita melangkah lebih jauh, berikut adalah definisi kategori model yang saya kerjakan:

Dari membaca jawaban dari fungsi pengganti Fibrant , saya tahu caranya$Q$ bertindak pada objek, tapi saya masih tidak yakin bagaimana tindakannya pada morfisme.

Tebakan saya adalah sebagai berikut.

Mari kita tunjukkan $\phi$sebagai objek awal. Saya ingin tahu apa itu$Q(f \colon X \rightarrow Y)$.

Pertimbangkan faktorisasi $i_1 \colon \phi \rightarrow Y$ oleh $i_1 = \beta(g) \alpha(g)$ dan faktorisasi $i_2 \colon \phi \rightarrow X$ oleh $i_2 = \beta(h) \alpha(h)$, dimana $\alpha(g) \colon \phi \rightarrow QY$ dan $\alpha(h) \colon \phi \rightarrow QX$.

Kita dapat mempertimbangkan kotak komutatif berikut.

$\alpha(h)$ adalah kofibrasi, dan $\beta(g)$ itu fibrasi sepele, jadi ada lift $k \colon QX \rightarrow QY$.

Sekarang, saya ingin mengatakannya $Qf = k$, tapi lift ini mungkin tidak unik, jadi ini menimbulkan masalah.

Bantuan apa pun akan dihargai, terima kasih!

Answer 1

Anda menulis "fibrant replacement functor", tetapi menggunakan notasi $Q$, yang merupakan notasi untuk fungsi pengganti kofibran. Saya pergi dengan yang fibrant, tapi tentu saja, untuk$Q$, ceritanya sepenuhnya ganda.

Baiklah jika $f: X\to Y$, Anda memiliki morfisme morfisme:

$\require{AMScd}\begin{CD} X @>>> Y \\ @VpVV @VqVV \\ *@>>> *\end{CD}$

dan sejak $(\gamma,\delta)$ adalah dengan asumsi faktorisasi fungsi, Anda mendapatkan peta $\gamma(p)\to \gamma(q)$, yaitu, kotak komutatif:

$\begin{CD}X @>>> Y \\ @V\gamma(p)VV @V\gamma(q)VV \\ R(X) @>>> R(Y)\end{CD}$

dengan $R(X) \to R(Y)$yang diberikan sebagai bagian dari data dari$\gamma((f,id_*))$ (perhatikan bahwa di $\gamma(p)$, kami melihat $p$sebagai objek dari kategori panah, saat dalam$\gamma((f,id_*))$, $(f,id_*)$ adalah panah dalam kategori panah)

Fakta bahwa peta ini $R(f): R(X)\to R(Y)$ membuat $R$ menjadi functor mengikuti dari fakta bahwa $\gamma$ adalah sebuah functor dan itu $(g,id_*)\circ (f,id_*)= (g\circ f,id_*)$