Fungsi eigen dari pecahan Laplacian mulus?

Question

Membiarkan $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ terbuka, dibatasi dengan batas halus, biarkan $s\in(0,1)$. Saya tahu bahwa pecahan Laplacian memiliki urutan fungsi eigen$\{e_k\}_{k\in\mathbb{N}}\subset H^s(\mathbb{R}^N)$, $e_k=0$ ae on $\mathbb{R}^n\setminus\Omega$, $\forall k\in\mathbb{N}$. Selain itu, saya tahu bahwa fungsi-fungsi eigen ini kontinu di seluruh$\mathbb{R}^n$. Pertanyaan saya adalah: apakah fungsi eigen ini berjalan mulus$\Omega$? Dapatkah Anda memberi saya beberapa referensi tentang hasil ini (jika ada)?

Answer 1

Ini adalah konsekuensi dari teori pseudo-differential operator. Laplacian pecahan Anda$P_s$ adalah pesanan PDO $2s$. Di atas segalanya, bentuknya elips. Ini adalah hasil klasik (pasti di Hörmander) yang jika$P_su\in H^r_{\rm loc}$, kemudian $u\in H^{r+2s}_{\rm loc}$, dimana $H^{\cdots}$ adalah kelas ruang Sobolev.

Terapkan ini ke fungsi eigen $e_k$, yang Anda tahu berkelanjutan, maka itulah $H^0_{\rm loc}=L^2_{\rm loc}$. Bootstrap, Anda menemukannya$e_k$Milik $$\bigcap_{\ell\in\mathbb N}H^{2\ell s}_{\rm loc}\subset C^\infty.$$