Grup Picard vs grup kelas
Pertanyaan.
Membiarkan $R$menjadi cincin komutatif. Membiarkan$M$ kacang $R$-module dengan properti yang ada $R$-modul $N$ seperti yang $M\otimes_R N\cong R$. Apakah selalu ada cita-cita$I$ dari $R$ seperti yang $M$ isomorfik untuk $I$ sebagai sebuah $R$-modul? (Saya curiga tidak dalam hal umum ini)
Latar belakang.
Membiarkan $R$menjadi cincin komutatif. Berikut adalah dua kelompok yang dapat diasosiasikan$R$.
- "Kelompok kelas".
Kelompok pertama adalah "terinspirasi oleh teori bilangan". Seseorang mengambil cita-cita$R$dan mengamati bahwa mereka memiliki perkalian alami yang ditentukan pada mereka. Yang satu mendefinisikan dua cita-cita$I$ dan $J$menjadi setara jika ada nonzerodivisors$s$ dan $t$ seperti yang $sI=tJ$. Hubungan ini berjalan baik dengan perkalian, memberi kita perkalian pada kelas ekivalensi (kecuali saya mengacaukan; referensi saya adalah "di belakang perhitungan amplop"). Ini membuat kelas kesetaraan menjadi monoid komutatif, dan seseorang dapat mendefinisikan kelompok kelas$R$ menjadi unit monoid ini, yaitu elemen dengan invers.
Catatan: seseorang dapat menggunakan ideal pecahan. Teori ideal pecahan sering dibuat hanya untuk domain integral, dan jika saya melakukan kesalahan di atas maka mungkin saya harus membatasi pada domain integral. Cita-cita pecahan didefinisikan sebagai cita-cita integral dengan penyebut jadi menurut saya ini tidak mengubah kelompok yang ditentukan di sini.
- Grup Picard.
Grup kedua adalah "terinspirasi oleh geometri" - ini adalah grup Picard dari $\operatorname{Spec}(R)$. Lebih konkretnya, ambil kumpulan (ini bukan satu set) kelas isomorfisme$R$-modul $M$. Ini memiliki perkalian yang berasal dari perkalian tensor, dan memenuhi aksioma sebuah monoid kecuali itu bukan himpunan. Satuan monoid ini bagaimanapun adalah satu set, karena bagian belakang lain dari perhitungan amplop tampaknya menunjukkan jika$M\otimes_R N\cong R$ dan kami menulis $1=\sum_i m_i\otimes n_i$, jumlah yang terbatas, lalu $m_i$ menghasilkan $M$ sebagai sebuah $R$-modul, memberi kita kendali atas ukuran satuan monoid - semuanya isomorfik ke hasil bagi $R^n$jadi kami mendapatkan kembali kendali dalam pengertian teori-set. Satuan monoid adalah kelompok kedua.
Pertanyaannya datang dari saya mencoba meyakinkan diri sendiri bahwa kelompok-kelompok ini tidak sama secara umum (karena saya tidak benar-benar mengharapkan mereka sama secara umum). Jika$R$ adalah domain Dedekind (jadi $\operatorname{Spec}(R)$ adalah kurva affine yang mulus) maka di sini kita memiliki definisi klasik dan definisi mewah dari kelompok kelas $R$, dan jawaban pertanyaannya adalah "ya". Ini karena setiap proyektif peringkat 1$R$-modul isomorfik ke ideal $R$; jika saya ingat dengan benar maka lebih umum setiap peringkat$n+1$ proyektif $R$-modul isomorfik untuk $I\oplus R^n$ untuk beberapa ideal $I$ (ini benar setidaknya untuk bilangan bulat dari bidang angka) yang memungkinkan Anda untuk menghitung algbraic ke-nol $K$-kelompok (grup Grothendieck) dari $R$. Tetapi lebih umum dari ini saya tidak yakin apa yang sedang terjadi.
Di halaman Wikipedia pembagi saya membaca "Setiap bundel baris$L$ di $X$ pada skema Noetherian integral adalah kelas dari beberapa pembagi Cartier "yang membuat saya berpikir bahwa hasilnya mungkin benar untuk domain integral Noetherian, tetapi saya tidak melihat buktinya bahkan di sana (mungkin itu standar). Cara pengungkapannya membuat saya lalu bertanya-tanya apakah ada contoh balasan non-Noetherian.
Jawaban
Berikut ini adalah upaya untuk menggeneralisasi bukti yang disebutkan di atas dari Hartshorne.
Klaim: Biarkan$R$ menjadi cincin yang total cincin pecahan $R_{\mathrm{tot}}=S_{\mathrm{nzd}}^{-1}R$adalah Artinian. Lalu bisa dibalik$R$-modul isomorfik ke ideal yang dapat dibalik.
(Hipotesis berlaku setidaknya dalam dua kasus "alami" berikut:
- $R$ adalah domain, yang sesuai dengan kasus skema integral,
- $R$ adalah cincin Noetherian tanpa komponen tertanam, yaitu $\mathrm{Ass}\,R$ tepatnya adalah himpunan bilangan prima minimal, dalam hal ini spektrum $R_{\mathrm{tot}}$ hanya terdiri dari bilangan prima minimal ini, karenanya $0$-dimensi.)
Bukti: Satu hasil seperti dalam bukti dari Hartshorne. Diberikan modul yang dapat dibalik$M$, ini adalah modul lokal gratis dengan peringkat konstan $1$, dan begitu juga $R_{\mathrm{tot}}$-modul $M \otimes_R R_{\mathrm{tot}}$. Sebagai$R_{\mathrm{tot}}$ adalah Artinian, modul peringkat apa pun yang gratis secara lokal $1$ sebenarnya adalah modul peringkat gratis $1$, dan demikianlah yang kita miliki $$M=M\otimes_R R\hookrightarrow M\otimes_R R_{\mathrm{tot}}\simeq R_{\mathrm{tot}}.$$ Ini menyadari $M$ sebagai sebuah $R$-submodule $M'$ dari $R_{\mathrm{tot}}$. Itu dihasilkan secara halus (karena$M$ adalah), mari kita sebut generator ini $a_1/s_1, \dots, a_n/s_n \in R_{\mathrm{tot}}.$ Tapi kemudian $s=s_1s_2 \dots s_n$ adalah pembagi bukan nol dari $R$, dan kita mempunyai $sM' \subseteq R$. Jadi,$M$ isomorfik terhadap ideal yang dapat dibalik $I:=sM'$. $\square$
(Saya kira asumsi itu bisa sedikit lebih santai, dengan asumsi itu $R_{\mathrm{tot}}$hanyalah produk langsung terbatas dari cincin lokal ( sunting: Sebenarnya, bahkan lebih dengan hanya mengasumsikan itu$\mathrm{Pic}(R_{\mathrm{tot}})=1$). Tapi saya tidak tahu kasus "alami" baru yang akan diberikan oleh hal ini.)
Saya akan berasumsi bahwa $R$tertutup secara integral dalam bidang pecahannya. Membiarkan$A$ menjadi semilokalisasi $R$ di semua cita-cita maksimal dimana $R$bukan faktorial. (Itu adalah,$A=S^{-1}R$ dimana $S$ adalah pelengkap dari penyatuan semua cita-cita maksimal itu.) Kemudian $Pic(R)$ duduk di dalam $Cl(R)$ dan sebenarnya adalah inti dari peta $Cl(R)\rightarrow Cl(A)$.
Ini pasti ada di kertas Fossum di suatu tempat, meskipun saya tidak memiliki referensi di tangan.