Identitas Ext untuk cincin

Question

Membiarkan $A$menjadi cincin noetherian dua sisi (yang harus kita asumsikan sebagai Gorenstein terlebih dahulu sehingga semuanya terdefinisi dengan baik, jika tidak, hanya ditentukan dengan baik hingga dugaan, yang menyatakan bahwa setiap modul bukan nol memiliki kelas terbatas). Untuk kesederhanaan kita juga bisa berasumsi dulu itu$A$ adalah aljabar berdimensi hingga dan modul dihasilkan secara tak terbatas (tetapi contoh yang dihasilkan tanpa batas atau contoh non-Gorenstein juga diterima, tetapi saya terutama tertarik pada aljabar dimensi hingga).

Untuk sebuah modul $M$, tentukan nilai $M$ sebagai: $g_M:= \inf \{ i \geq 0 | Ext_A^i(M,A) \neq 0 \}$. Tentukan Ext-dual dari$M$ menjadi $U(M):=Ext_A^{g_M}(M,A)$ dan Ext-dual ganda $M$ sebagai $G(M):=U(U(M))=Ext_{A^{op}}^{g_{Ext_A^{g_M}(M,A)}}(Ext_A^{g_M}(M,A),A)$. Catat itu$G(M)$ selalu bukan nol.

Pertanyaan: Apakah kita selalu seperti itu $G^l(M) \cong G^{l-1}(M)$ (setidaknya dalam kategori stabil $A$) untuk beberapa $l \geq 1$ dan modul yang tidak dapat diuraikan $M$, sehingga urutan file $G^l(M)$ menjadi stasioner?

Ini benar untuk $A$ selfinjective atau hereditary (dalam kasus yang kita miliki $G(M) \cong M$ untuk semua $M$). Dalam semua contoh ini bahkan benar untuk$l \leq 2$ jadi saya bertanya-tanya apakah kita punya $G^2(M) \cong G(M)$ (setidaknya dalam kategori stabil).

Answer 1

Tampaknya modul apa pun $M$ yang ganda $A$-dual $M^{**}$tidak refleksif memberikan contoh yang berlawanan. Pada kasus ini$G(M) = M^{**}$ adalah ringkasan dari $G^2(M) = (M^{**})^{**}$ dengan pelengkap non-sepele, dan $G^2(M)$tidak bisa refleksif karena properti ini diwarisi oleh ringkasan. Mengulangi argumen ini dengan$G(M)$ dari pada $M$, kami melihat itu $G^l(M)$ adalah ringkasan dari $G^{l+1}(M)$ dengan pelengkap non-sepele untuk masing-masing $l \geq 0$.

Berikut contoh cincin non-Gorenstein:

Mengambil $S$ untuk menjadi modul sederhana yang unik $A = k[x,y]/(x,y)^2$. Kemudian$g_S = 0$ dan itu $A$-dual adalah $S^* \cong S^{\oplus 2}$ dengan $g_{S^*} = 0$, maka $G(S) = S^{**} \cong S^{\oplus 4}$ dan secara umum $G^{l}(S) = S^{\oplus 4l}$.