Identitas pada koefisien binomial

Question

Saya telah menjalankan beberapa percobaan tentang Magma dan saya yakin ini benar: jika $p$ adalah bilangan prima dan $k, a \geq 0$ adalah bilangan bulat

$${kp \choose ap} \equiv {k \choose a} \mod p^2.$$

Adakah yang bisa memikirkan bagaimana membuktikan ini? Bukti kombinatorial diberikan dalam komentar di sini , tetapi saya ingin tahu apakah ada bukti aljabar.

Saya tahu bagaimana membuktikan mod kesesuaian $p$: itu mengikuti dengan menggunakan teorema binomial pada identitas $$(1+x)^{kp} = (1+ x^p)^k$$ di $\mathbb{F}_p[x]$, yang pada gilirannya benar menurut Frobenius.

Answer 1

Ok ini dia (untuk $p^3$, kasus yang lebih kuat):

Untuk ini, saya akan menggunakan lemma yang bagus ini:

Untuk $n\in\mathbb{N}$ dan $p\in\mathbb{P}$, $p>3$: $$\binom{np-1}{p-1}\equiv 1\pmod{p^3}$$

$$\binom{pk}{pa}-\binom{k}{a}=\frac{pk(pk-1)...(pk-pa+1)}{(pa)!}-\frac{k(k-1)...(k-a+1)}{a!}=\binom{k}{a}\Bigg(\frac{\prod_{i=k-a+1}^{k}\binom{pi-1}{p-1}}{\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}}-1\Bigg)$$

Membiarkan $$c=\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}$$

Lalu kita punya

$$\binom{pk}{pa}-\binom{k}{a}=\frac{\binom{k}{a}}{c}\Bigg(\prod_{i=k-a+1}^{k}\binom{pi-1}{p-1}-\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}\Bigg)$$

Pakai lemma kami, buktinya sudah lengkap, karena

$$\prod_{i=k-a+1}^{k}\binom{pi-1}{p-1}-\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}\equiv1-1\equiv0\pmod{p^3}$$

dan

$$c=\prod_{i=1}^{a}\binom{pi-1}{p-1}\equiv 1\pmod{p^3}$$ begitu $c$ tidak dapat dibagi oleh $p$.

Jadi, $$\binom{pk}{pa}\equiv\binom{k}{a}\pmod{p^3}$$

Untuk informasi selengkapnya, lihat kongruensi tipe Ljunggren .