Integral dari $\exp(-\|x\|_p)$

Question

$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ Membiarkan $1 \leq p < \infty$ dan biarkan $d$menjadi bilangan bulat positif. Saya ingin menunjukkan itu$$I := \int_{\RR^d} \exp\left(-\|x\|_p\right) dx = \frac{(2\Gamma(1/p))^d}{p^{d-1}}\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(d/p)}.$$ Karena $L^p$normalnya, integrand tidak simetris secara radial. Jika saya mengonversi ke koordinat bola saya berakhir$$I = \Gamma(d) \int_{S^{d-1}} \frac{d\sigma(x)}{\|x\|_p^d} $$ dimana $\sigma$adalah ukuran bola. Bagaimana saya harus melanjutkan dari sini? Atau bagaimana cara menghitung integral ini? Saya sangat menghargai perhitungan yang rinci!

Answer 1

Pendekatan sederhana adalah melihat itu, untuk apa pun $f$ sehingga integral pada LHS di bawah ini ada, kita punya $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=K_{p,d}\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt,\tag{*}\label{maineq}$$ dimana $K_{p,d}$ tidak bergantung pada $f$ (katakanlah, kami mengganti $x=tg(y)$ dimana $x=g(y)$ adalah parameterisasi $\|x\|_p=1$; Jacobian dari substitusi semacam itu adalah dalam bentuknya$t^{d-1}h(y)$ dengan beberapa $h$ tidak tergantung $t$).

Mencari $K_{p,d}$, kami memilih $f$sehingga kedua sisi \ eqref {maineq} mudah untuk dihitung. Mengambil$f(t)=e^{-t^p}$: $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=\left(\int_\mathbb{R} e^{-|x|^p}\,dx\right)^d=\big(2\Gamma(1/p)/p\big)^d,\\\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt=\int_0^\infty t^{d-1}e^{-t^p}\,dt=\Gamma(d/p)/p,$$ maka $K_{p,d}=\frac{2^d\Gamma^d(1/p)}{p^{d-1}\Gamma(d/p)}$. Untuk mendapatkan jawabannya, itu tetap dimasukkan$f(t)=e^{-t}$ di \ eqref {maineq}.