Jumlah kombinatorial

Question

• Ada ide untuk mengevaluasi jumlahnya $$ \sum_{j=m}^{k}\frac{\binom{m}{2m - j\,\,}}{\binom{k}{j}} \quad\mbox{with}\quad m \leq k < 2m - 1. $$
• Saya telah menemukan jumlahnya $k=2m-1$. Faktanya, itu diverifikasi$$ \sum_{j = m}^{2m - 1}\ \frac{\binom{m}{2m-j\,\,}} {\binom{2m - 1\,\,}{j}} = 2m\left(H_{2m} - H_{m}\right), $$ dimana $H_{j}$ adalah $j$-bilangan harmonik.

Answer 1

Di sini paket Zeilberger maxima (lihat Petkovsek, Wilf, Zeilberger "A = B" untuk detailnya yang mengerikan) mengatakan bahwa jumlah Anda tidak dapat dijumlahkan oleh Gosper. Artinya tidak ada bentuk tertutup sederhana untuk itu.

Answer 2

Untuk waktu yang singkat, saya berharap bisa mengekspresikan hasilnya dalam fungsi hipergeometrik tetapi saya gagal.

Jika kita membiarkan $k=m+n$, masalahnya berkurang menjadi $$S_n=\sum_{j=m}^{m+n} \frac{\Gamma (j+1)\,\,\Gamma (m+n+1-j)}{\Gamma (m+n+1)} \,\binom{m}{2 m-j} $$ yang bisa menulis $$S_n=\frac{\Gamma(m+1)}{n!\ \Gamma(m+n+1)} P_{n}(m)$$ dimana $P_n$ adalah polinomial derajat $2n$ (tampaknya tidak dapat difaktorkan untuk apa pun $n$).

Yang pertama adalah $$\left( \begin{array}{cc} n & P_n \\ 0 & 1 \\ 1 & m^2+m+1 \\ 2 & m^4+2 m^3+m^2+4 \\ 3 & m^6+3 m^5-2 m^4-9 m^3+13 m^2+18 m+36 \\ 4 & m^8+4 m^7-10 m^6-44 m^5+53 m^4+184 m^3+100 m^2+576 \end{array} \right)$$

Saya belum dapat menemukan pola apa pun untuk koefisien [kecuali suku konstantanya adalah $(n!)^2$ dan koefisien $m^{2n}$ adalah $1$ (!!)].

Satu-satunya hal yang saya amati adalah, jika $n$ genap, istilahnya adalah $m$ hilang secara sistematis.

Tanpa bukti apapun, saya tidak berpikir bahwa bentuk tertutup bisa ada untuk seorang jenderal $n$.