K-Teori $C^{*}(X)$

Question

Saya baru mengenal Teori-K untuk $C^{*}$-aljabar dan $C^{*}$-aljabar kelompok.

Jika $X$ adalah kelompok bijections dukungan terbatas bilangan asli lalu apa K-Theory of $C^{*}(X)$?

Saya berencana untuk menghitung $C^{*}(X)$ pertama dan kemudian proyeksi dan kelas homotopi mereka tetapi saya gagal untuk menentukan $C^{*}(X)$ di tempat pertama.

Berikut ini definisi dari file $C^{*}$-aljabar kelompok:

https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf

Adakah yang bisa membantu saya?

Terima kasih banyak.

Answer 1

Grup yang Anda gambarkan haruslah grup simetris tak hingga $S_{\infty}$. Itu$K$-teori nya $C^*$-aljabar telah ditentukan oleh Kerov dan Vershik di

K -functor (grup Grothendieck) dari grup simetris tak hingga https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985

Hasil utama dapat diringkas sebagai berikut: Mari $\mathcal{A}$menjadi cincin polinomial simetris dalam banyak variabel tak terhingga. Ini isomorfik untuk$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, dimana $a_i$ adalah $i$fungsi simetris dasar dalam jumlah argumen yang tak terbatas. Kemudian$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ Isomorfisme mengirimkan representasi yang tidak dapat direduksi $\pi_{\lambda}$ sesuai dengan diagram Young $\lambda$ ke fungsi Schur yang sesuai dengan $\lambda$. Ini juga merupakan isomorfisme cincin, dimana struktur cincin di sisi kiri berasal dari pengamatan itu$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ dan mengalikan dua representasi $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ dan $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ untuk $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ dimana $S_n \times S_m$ duduk di dalam $S_{n+m}$ dengan $S_n$ permuting yang pertama $n$ elemen dan $S_m$ memperbolehkan yang lain $m$.