Kalkulus Schubert

Question

Membiarkan $X = Gr(2,4)$ yang kompleks Grassmannian dari $2$- pesawat masuk $V = \Bbb C^4$ dan $S$ bundel tautologis, $Q$bundel hasil bagi. Cincin kohomologi dihasilkan oleh$c_1(S), c_2(S)$ dengan hubungan $c(S)c(Q) = 1$, berasal dari urutan persis bundel vektor $0 \to S \to V \to Q \to 0$.

Satu harus mendapatkan $c_1(S)^4 = 1$murni dari hubungan ini tetapi saya tidak dapat melakukannya. Adakah yang bisa menjelaskan bagaimana melakukannya?

Answer 1

Pertama tama, $c_1(S)^4 = 2$, bukan 1. Perhitungannya sendiri cukup mudah. Biarkan saya menunjukkan$a_i := c_i(S)$, $b_i = c_i(Q)$. Kemudian hubungannya$$ a_1 + b_1 = a_2 + a_1b_1 + b_2 = a_1b_2 + a_2b_1 = a_2b_2 = 0. $$ Pemberian pertama $b_1 = -a_1$, yang kedua memberi $b_2 = a_1^2 - a_2$, dan dua yang terakhir memberi $$ a_1^3 = 2a_1a_2, \qquad a_1^2a_2 = a_2^2. $$ Kombinasi dari dua persamaan terakhir memberikan $ a_1a_2^2 = a_1(a_1^2a_2) = (a_1^3)a_2 = 2a_1a_2^2, $ karenanya $a_1a_2^2 = 0$. Ini berarti cincin kohomologi direntangkan$\mathbb{Z}$ oleh $1$, $a_1$, $a_2$, $a_1a_2$, $a_2^2$, dan itu $$ a_1^4 = 2a_2^2 $$ yang diterjemahkan ke dalam kesetaraan yang dibutuhkan $c_1(S)^4 = 2$.