Kelengkapan TVS operator linier

Question

Membiarkan $A$ dan $B$ menjadi dua ruang Banach dan pertimbangkan ruang linier $\mathbf{Ban}(A, B)$peta linier terbatas dengan topologi konvergensi seragam pada set kompak. Karena topologi ini dihasilkan oleh keluarga seminorms$p_K = \sup\{\|Ta|\ \colon a\in K\}$ untuk $K$ subset kompak dari $A$, topologinya adalah Hausdorff dan cembung lokal. Pertanyaan saya adalah: apakah sudah lengkap? Dan jika ini diketahui, ada referensi yang dapat dikutip?

Answer 1

Ini memang tampaknya lebih mudah daripada yang saya (tidak) pikirkan sebagai kawan karib. Sketsa bukti: jaring Cauchy dalam topologi konvergensi seragam pada compacta adalah Cauchy secara lancip sehingga memiliki batas runcing. Sangat mudah untuk melihat bahwa batas titik adalah peta linier, dan dengan mengambil batas titik dalam kondisi Cauchy, konvergensi ke batas ini seragam dalam compacta. Untuk melihat bahwa batasnya dibatasi, cukup untuk membuktikannya mempertahankan urutan nol, tetapi urutan nol adalah himpunan yang relatif kompak sehingga kesimpulan yang diinginkan mengikuti dari pertukaran batas yang dimungkinkan karena konvergensi seragam pada himpunan kompak yang dibentuk oleh urutan dan itu$0$ membatasi.