kelompok solvable dan abelian

Question

Dari wiki, grup $G$ dapat dipecahkan jika ada subkelompok $1 = G_0 \trianglelefteq G_1$⋅⋅⋅$\trianglelefteq G_k = G$ seperti yang $G_{j−1}$ normal $G_j$, dan $G_j /G_{j−1}$ adalah grup abelian, untuk $j = 1, 2, …, k$.

Saya memiliki masalah yang baru saja kita pilih $1\trianglelefteq$G dan kami dapatkan $G$ bisa diterima, jadi setiap kelompok bisa dipecahkan, apakah saya salah?

Answer 1

Mengenai masalah Anda: itu hanya mengatakan bahwa jika kelompok $G$adalah abelian, maka itu bisa dipecahkan. Bukan sebaliknya:$S_3$ bisa dipecahkan, tapi tidak abelian.

Answer 2

Dalam notasi definisi, untuk urutan $1\trianglelefteq G$ kita punya $G_0 = 1$ dan $G_1 = G$, dan kami membutuhkannya $G_1/G_0$adalah grup abelian. Sejak$G_1/G_0 = G/1 \cong G$, urutan ini hanya menunjukkan itu $G$ dapat dipecahkan jika $G$ adalah abelian.