Kernel dan gambar proyeksi ortogonal

Question

Membiarkan $X$ menjadi ruang Hilbert dan $Y$ menjadi subruang tertutup, setiap vektor $x \in X$ dapat direpresentasikan secara unik sebagai $x=y+z$, $y \in Y$, $z \in Y^\bot$. Lalu petanya$$P_Y:X \to X, \quad P_Y(x)=y$$ disebut proyeksi ortogonal dalam $X$ ke $Y$.

Saya perlu membuktikan itu $\text{Im}(P_Y)=Y$ dan $\ker(P_Y)=Y^\bot$.

Adapun gambar: hasilnya tampaknya mengikuti lurus ke depan dari definisi: $$P_Y(x)=y \in Y \quad \forall x \in X \implies \text{Im}(P_Y)=Y.$$

Kernel: tampaknya sudah jelas tetapi sulit untuk memikirkan bukti apa pun.

Answer 1

Untuk gambar Anda hanya membuktikan satu penahanan, yaitu ${\rm im}(P_Y)\subseteq Y$.
Penahanan lainnya berlaku karena$P_Y(y)=y$ untuk setiap $y\in Y$.

Untuk kernel, cukup tulis definisinya: misalkan arbitrary $x\in X$ diberikan, menguraikannya sebagai $x=y+z,\ y\in Y,\ z\in Y^\perp$, kemudian $$P_Y(x)=P_Y(y+z)=y$$ Jadi begitu $0$ iff $y=0$ iff $x=z$ iff $x\in Y^\perp$.