Keterbatasan $\pi_n(Top/O)$

Question

Untuk $n>4$ seseorang dapat mengidentifikasi $\pi_n(Top/O)$ melalui teori pemulusan sebagai kelas konkordansi dari struktur halus $S^n$di mana dua struktur sesuai jika mereka mengikat struktur halus pada produk dengan interval. Saya telah melihat klaim bahwa kelompok homotopi ini berhingga, misalnya ketika dinyatakan$BO \rightarrow BTop$ adalah kesetaraan rasional.

Seseorang ingin menggunakan karya Kervaire dan Milnor yang menunjukkan keterbatasan bidang homotopi yang berorientasi, tetapi saya tidak melihat bagaimana beralih dari pernyataan tentang tipe difeomorfisme ke pernyataan tentang kelas konkordansi. Benarkah konkordan bola ekivalen dengan difeomorfik? Konkordansi itu menyiratkan bahwa diffeomorphism benar menurut teorema h-cobordism, tetapi saya percaya untuk beberapa lipatan setidaknya cara lain tidak berlaku.

Answer 1

Di sini saya pada dasarnya hanya mengulangi apa yang ditulis Siebenmann dalam Esai V dari volume Kirby-Siebenmann sambil mengambil beberapa definisi dari bagian awal:

Membiarkan $n \geq 5$. Dengan karya Kirby dan Siebenmann tentang konektivitas$Top(n)/O(n) \rightarrow Top/O$, $\pi_n(Top/O)=\pi_n(Top(n)/O(n))$. Yang terakhir adalah apa yang akan kita pilih untuk dikerjakan. Di bagian 5.3 ruang$\Omega^n Top(n)/O(n)$ diidentifikasi dengan ruang perataan $S^n$relatif terhadap disk dengan struktur halus standar. Karenanya,$\pi_n(Top(n)/O(n))$ adalah kelas konkordansi dari struktur halus seperti itu.

Kita dapat mempertimbangkan penyertaan penghalusan tersebut ke dalam penghalusan homotopi $S^n$relatif terhadap disk (mungkin hingga h-cobordism?). Surjektifitas mengikuti dugaan Poincare dan injeksi dari apa yang disebut Siebenmann sebagai "Isotop Alexander", saya tidak yakin apa ini.

Kemudian set penghalusan homotopi ini $S^n$ relatif terhadap disk memiliki peta ke kelompok bidang homotopi berorientasi yang diberikan dengan menggunakan persamaan homotopi untuk mengangkut orientasi $S^n$ke bidang homotopi dan kemudian melupakan kesetaraan homotopi. Peta ini bersifat dugaan karena setiap bola homotopi berisi cakram standar di dalamnya. Hal utama untuk menunjukkan injektifitas adalah bahwa hingga orientasi ada kelas isotop tunggal dari disk yang disematkan di lingkungan homotopi kita.

Rantai bias ini menunjukkan hal itu $\pi_n(Top/O)$ untuk $n\geq 5$ aku s $\Theta_n$, kelompok bidang homotopi berorientasi. Saya pikir setiap kehalusan dalam bukti ini akan muncul dari menunjukkan bahwa memasukkan penghalusan ke dalam penghalusan homotopi adalah suntik, jadi saya akan melihat lebih jauh ke dalam "Isotop Alexander".