Ketergantungan waktu operator

Question

Dalam Pengantar Mekanika Kuantum Griffiths, saat mempelajari evolusi waktu dari nilai ekspektasi posisi, penulis menulis: $$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

Begitu $$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

Apakah dia hanya berasumsi seperti itu $x$tidak memiliki ketergantungan waktu? Dan mengapa?

Answer 1

Apakah dia hanya berasumsi bahwa x tidak memiliki ketergantungan waktu? Dan mengapa?

Iya. Hasil integral dari bentuk$$\int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx \tag{1}$$ adalah fungsi waktu $t$; yaitu, fungsi dari satu variabel nyata (atau, secara longgar, integral akan mengevaluasi ke kuantitas yang tidak akan bergantung pada$x$, hanya di $t$). Jadi, saat membedakan$(1)$, seseorang akan mendapatkan: $$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx = \int \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx$$seperti yang didikte oleh Teorema Integral Leibniz (perhatikan bahwa saya mengasumsikan beberapa asumsi lemah tentang perilaku$f$, tapi bukan hal yang menarik di sini). Aplikasi sepele ini di$$\langle x \rangle := \int_{\mathbb{R}} x |{\Psi(x,t)}|^2 \, dx$$ menghasilkan hasil yang diinginkan.

Answer 2

Ada dua formulasi mekanika kuantum:

• Representasi Schrödinger . Evolusi waktu dikodekan dalam vektor status, fungsi gelombang -$\Psi(x,t)$, dan observable (operator) konstan dalam waktu
• Representasi Heisenberg . Sekarang operator berevolusi seiring waktu, dan vektor status tidak bergantung waktu, tetap ditetapkan.

Dalam kasus teori yang berinteraksi ada representasi Interaksi hybrid . Di sini operator berevolusi dengan Hamiltonian yang tidak berinteraksi$H_0$, dan status berkembang melalui bagian interaksi $H_I$.

Jadi dalam kasus Anda, penulis menggunakan representasi Schrödinger.