Keterpisahan kernel operator kompak

Question

Jika $T$adalah operator kompak di ruang Hilbert, maka jangkauannya dapat dipisahkan karena merupakan satu set dengan penutup kompak. Tapi apa yang bisa saya katakan tentang$\mbox{ker}(T)$set? Apakah itu juga bisa dipisahkan? Jika ya, apa argumen untuk membuktikannya?

Saya telah mencoba mengamati ini dengan memproyeksikan $\overline{\mbox{range} (T)}$ lebih $\mbox{ker}(T)$, tapi saya tidak tahu cara membuat urutan yang padat $\mbox{ker}(T)$, jadi saya tidak tahu apakah hasilnya benar atau salah

Answer 1

Tentu saja jika ruang Hilbert $H$ dipisahkan kemudian kernel $T$secara otomatis dapat dipisahkan. Tapi jika$H$ tidak dapat dipisahkan $\operatorname{ker} T$adalah tidak pernah dipisahkan.

Misalnya, adjoint $T^*$ juga kompak, dan pelengkap ortogonal dari citranya (yang dapat dipisahkan) adalah inti dari $T$. Jika kernel$T$ dipisahkan maka kami akan memiliki $H$ sebagai jumlah langsung dari dua subruang yang dapat dipisahkan.