Ketidaksetaraan Interpolasi (Sobolev embedding)

Question

Membiarkan $\Omega$ menjadi a $C^1$ domain, untuk semua $\epsilon>0, 0<|\alpha|<k$, ada a $C_\epsilon$ seperti yang $$||D^\alpha u||_{L^p}\leq \epsilon||u||_{W^{k,p}}+C_\epsilon||u||_{L^p}$$ untuk semua $u\in W^{k,p}$.

Saya mencoba membuktikannya dengan kontradiksi.

$\forall n \in \mathbb{N}, \exists u_n \in W^{k,p}$ seperti yang $||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon||u_n||_{W^{k,p}}+n||u_n||_{L^p}$.

Ada yang bisa memberi saya petunjuk tentang menggunakan Sobolev compactness embedding?

Saya mencoba menggunakan $W^{k,p}\subset \subset L^p$. Namun, saya tidak bisa menunjukkan bahwa urutannya dibatasi$sup$.

Dengan melakukan normalisasi, $v_n=\frac{u_n}{||u_n||_{W^{k,p}}}$, kami akan melakukannya $$\frac{1}{||u_n||_{W^{k,p}}}||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon+\frac{n}{||u_n||_{W^{k,p}}}||u_n||_{L^p}$$

Answer 1

Ternyata embedding tersebut $W^{k,p} \subset \subset L^p$kompak tidak cukup baik. Kami membutuhkan sesuatu yang sedikit lebih kuat: untuk$0<|\alpha| < k$ embedding $W^{k,p} \subset \subset W^{|\alpha|,p}$ kompak juga.

Setelah Anda (setelah normalisasi) $\|u_n\|_{W^{k,p}} = 1$ untuk semua $n$, urutannya $u_n$ terikat $W^{k,p}$ (karena $\sup_n \|u_n\|_{W^{k,p}} =1$ seperti kita menormalisasi masing-masing), oleh karena itu dengan inklusi kompak ada urutan konvergen $u_{n_j} \xrightarrow{W^{|\alpha|,p}} u$.

Sekarang, tuliskan pernyataan yang kontradiktif: $$ \|D^{\alpha} u_{n_j}\|_{L^p} > \epsilon\|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} + n \|u_{n_j}\|_{L^p} = \epsilon + n \|u_{n_j}\|_{L^p} \tag{*} $$

Perhatikan itu sejak $1 = \|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} \geq \|D^{\alpha}u_{n_j}\|_{L^p}$, LHS dibatasi oleh $1$. Dari sini, sisi kanan harus dibatasi$1$. Tetapi agar itu terjadi, kita harus memilikinya$\|u\|_{L^p} = 0$, karena jika tidak, maka RHS akan terlihat seperti ini $\epsilon + n \|u\|_{L^p}$ untuk yang besar $n$, yang tidak dibatasi kecuali $\|u\|_{L^p} = 0$. Karenanya$u=0$.

Tapi kami juga punya $D^{\alpha} u_{n_j} \xrightarrow{L^p} D^{\alpha} u = 0$. Namun, jika kita mengambil batasan$*$ kita mendapatkan $\|D^{\alpha}u\|_{L^p} > \epsilon$. Ini melengkapi kontradiksi.