Komutatifitas $I$ dan $Y$ dalam kode stabilizer

Question

Membiarkan $P_1 = \lbrace I, -I, iI, -iI, X, -X, iX, -iX, Y, -Y, iY, -iY, Z, -Z, iZ, -iZ\rbrace$. Membiarkan$P_n$ jadilah $n$-tensor lipat $P_1$. Dikatakan bahwa dua operator melakukan perjalanan jika$AB = BA$ atau anti-perjalanan jika $AB = -BA$ untuk semua $A,B \in P_n$.

Mari kita miliki $n=1$ dan $A=I$ dan $B=Y$, maka kami memiliki:

\begin{align*} IY &\stackrel{\text{true}}{=} YI,\\ IY &\stackrel{\text{true}}{=} -YI. \end{align*}

Dengan kata lain, $I$ dan $Y$baik ngelaju dan anti ngelaju. Saya juga menambahkan potongan kode matlab untuk kelengkapan.

I = [1 0; 0 1];
Y = [0 -i;i  0];
if isequal(I*Y,Y*I)
   disp('commute') 
end
if isequal(I*Y,-Y*I)
   disp('ANTI-commute') 
end

Saya mengacu pada tesis PhD Daniel Gottesman .

Apa yang saya lewatkan?

Sunting: Kode Matlab saya harus menjalankan hanya satu dari pernyataan if (tidak keduanya). Sepertinya mesin saya menyimpan jawaban dari sebelumnya. Restart program telah memperbaiki masalah tersebut.

Answer 1

Harus $IY \ne - YI$ dari pada $IY = - YI$. $$IY \ne - YI \\ \begin{pmatrix} 1&0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \ne -\begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \\ Y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \ne -\begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} = -Y $$

Begitu $I$ dan $Y$jangan anti-ngelaju. Bahkan$I$ anti-bolak-balik hanya dengan matriks dengan semua $0$entri. Juga,$I$ bolak-balik dengan semua matriks, karena dari definisi $IM = M = MI$, dimana $M$ adalah matriks acak.

---

Sebaliknya semua pasangan dari $\{X, Y, Z \}$anti-bolak-balik satu sama lain. Sebagai contoh:

$$\{X Z \} = XZ + ZX = 0$$

karena $XZ = -ZX$. Juga, kami memiliki hubungan ini:$XY = -YX$ dan $YZ = -ZY$ dari mana kita bisa menyimpulkan $\{XY\} = \{ZY\} = 0$.