Lengkapi teori urutan pertama

Question

Saat mempelajari teori model pendek Hodges, saya menemukan pengamatan ini:

Diberikan bahasa urutan pertama $L$, kami mengatakan bahwa $L$-teori $T$adalah lengkap jika$T$memiliki model dan salah satu dari dua modelnya adalah padanan dasar. [...] teorema kekompakan menyiratkan bahwa setiap teori lengkap dalam$L$ setara (yaitu memiliki model yang sama) dengan teori bentuk $\text{Th}(A)$ untuk beberapa $L$-struktur $A$.

Sekarang, saya tidak melihat bagaimana teorema kekompakan muncul. Mengapa kita membutuhkannya? Mengingat definisi teori lengkap, langsung bagi saya bahwa teori lengkap setara dengan teori salah satu modelnya. Apa yang saya lewatkan?

Terima kasih!

Answer 1

Ini memang sebuah kesalahan. Seperti yang dikatakan Nagase, itu tidak ada dalam buku teori model asli ("besar"). Kecurigaan saya adalah bahwa Hodges menambahkannya setelah mencampurkan dua pengertian tentang kelengkapan: "dapat memuaskan dan semua model pada dasarnya setara" versus "berisi setiap kalimat atau negasinya". Dengan menggunakan pengertian kelengkapan yang terakhir, kita memang membutuhkan kekompakan untuk mengidentifikasi teori lengkap dengan teori struktur.