Manifold adalah set Borel

Question

Mempertimbangkan $M\subseteq \mathbb{R}^n$, sebuah (tertanam) $C^{k\geq 1}$ berjenis.

Adalah $M$ Borel?

Saya pikir ya tapi saya terjebak dalam membuktikan ini. Untuk beberapa konteks, saya memeriksa bahwa integral di atas manifold sehubungan dengan ukuran Hausdorff masuk akal.

Saya mencoba:

1. Grafik fungsi kontinu adalah Borel: let $U$ terbuka dan $f:U \rightarrow \mathbb{R}^q$terus menerus. Membiarkan$\phi(x)=(x,f(x))$, fungsi berkelanjutan. Kami bisa menulis$U=\bigcup_n K_n$ untuk beberapa set kompak $K_n \subseteq U$ dan oleh karena itu $\text{graf}f=\phi(U)=\bigcup_n\phi(K_n)$, sehingga grafik $f$ adalah gabungan yang dapat dihitung dari set kompak (karena itu Borel).
2. Manifold adalah "dihitung secara lokal" grafik a $C^k$ Fungsi: dengan ini saya maksudkan $M$ adalah gabungan beberapa grafik yang dapat dihitung $C^k$fungsi. Di sini saya terjebak. saya tahu itu$M$adalah grafik lokal, tetapi saya tidak bisa mendapatkan properti hitungan. Saya berpikir untuk menggunakan kerapatan rasio dalam bilangan real tetapi saya tidak yakin apakah ini cara yang tepat, juga karena saya tidak yakin bahwa hitungan kedua dari$M$ dijamin dengan definisi saya tentang manifold (lihat di bawah).

Apakah Anda memiliki petunjuk tentang cara melewati poin 2, asalkan klaim saya benar?

---

$M\subseteq \mathbb{R}^n$ adalah sebuah tertanam $C^{k\geq 1}$ $m-$berlipat ganda jika untuk setiap $p$ di $M$ disana ada $U\subseteq \mathbb{R}^m$ buka dan $\phi:U\rightarrow M$ kelas $C^{k}$ seperti yang:

• $\phi(U)$ adalah lingkungan $p$, buka $M$
• $\phi$ adalah homeomorfisme pada gambarnya
• $d\phi$ ada di mana-mana suntik

Answer 1

$\bullet$ $\mathbb R^n$ adalah kedua dihitung dengan basis yang dapat dihitung $B$ diberikan oleh semua bola dengan jari-jari dan pusat rasional.

$\bullet$ Subruang dari ruang kedua yang dapat dihitung adalah kedua yang dapat dihitung: Jika $Y\subseteq X$ dan $B$ adalah dasar yang dapat dihitung $X$, kemudian $\{U\cap Y: U\in B\}$ adalah dasar yang dapat dihitung $Y$.

$\bullet$Ruang kedua yang dapat dihitung adalah Lindelöf: Setiap penutup terbuka menerima sub-penutup yang dapat dihitung (lihat misalnya di sini atau di sini ).

Jadi submanifold tertanam $M$ dari $ \mathbb R^n$ adalah "secara lokal" grafik dari fungsi berkelanjutan, yang menyelesaikan pembuktian Anda.