Meliputi ukuran probabilitas diskrit

Question

Membiarkan $\mathcal{P}_{n:+}(\mathbb{R})$ menunjukkan himpunan ukuran probabilitas $\mathbb{R}$ untuk formulir $\sum_{i=1}^n k_i \delta_{x_i}$ dimana $k_i>0$. Kemudian ukuran apa pun masuk$\mathcal{P}_{n:+}(\mathbb{R})$ ada di gambar peta di $\Delta_n \times \mathbb{R}^n$, dimana $\Delta_n$ adalah bagian dalam $n$-simplex (yaitu: $k_1,\dots,k_n \in (0,1)$ dengan $\sum_{i=1}^n k_i =1$, mengambil $(k_1,\dots,k_n)\times (x_1,\dots,x_n)$ untuk $\sum_{i=1}^n k_j \delta_{x_i}$. Jelas peta ini kontinu, kapan$\mathcal{P}_{n:+}(\mathbb{R})$ dilengkapi dengan metrik Prokhorov.

Namun, apakah ini peta yang menutupi ? Saya belum bisa membantahnya jadi saya pikir mungkin itu ...?

Answer 1

Peta ini bukan peta yang menutupi, karena gambar awal dari kumpulan tunggal di bawah peta ini bukan dari kardinalitas yang sama. Misalnya, kardinalitas dari preimage set singleton$\{\frac1n\,\sum_{j=1}^n\delta_j\}$ adalah $n!$, sedangkan preimage dari kumpulan singleton $\{\delta_0\}$ adalah kardinalitas tak terbatas.

---

Dari situs yang Anda tautkan ke: "[untuk peta penutup $f\colon X\to Y$,] bilangan pokok dari $f^{-1}(y)$ (yang mungkin tak terbatas) tidak bergantung pada pilihan $y$ di $Y$. "