Memahami Properti Matriks PSD

Question

Untuk beberapa alasan saya tidak bisa membungkus pikiran saya dengan beberapa konsep.

Saya membaca buktinya:

Ruang kolom dari matriks semi-pasti positif A terdapat dalam ruang kolom A + B?

Peringkat dari jumlah dua matriks semi-pasti positif

Saya tidak bisa memahami satu baris pun. Seharusnya$X \succeq 0$adalah semidefinite positif. Membiarkan$v \neq 0$ dan misalkan $v^{T}Xv=0$. Tautan kedua dan pertama mengatakan itu$v$ kemudian berada di ruang kosong dari $X$, berarti $Xv=0$

Mengapa harus demikian?

Terima kasih.

Answer 1

Semua matriks semidefinite positif $X$memiliki akar kuadrat semidefinite positif $Y$, itu adalah, $Y^2=X$.

$X$simetris, karenanya dapat didiagonalisasi secara ortonormal, dengan nilai eigen nonnegatif. Ambil matriks diagonal dengan akar kuadrat dari nilai eigen, dengan basis yang sama.

Karena itu, $0=v^TXv=v^TY^2v=v^TY^TYv=\|Yv\|^2$ menyiratkan $Yv=0$ darimana $Xv=Y(Yv)=0$ demikian juga.

Answer 2

Pada tingkat yang lebih mendasar, jika $X$ adalah semidefinite positif, $(u,v):=u^TXv$mendefinisikan produk semi-inner . Oleh karena itu, ini memenuhi ketidaksetaraan Cauchy-Schwarz. Jadi jika$(v,v)=0$, kemudian $|u^TXv|=|(u,v)|\le\sqrt{(u,u)(v,v)}=0$ untuk setiap vektor $u$. Karenanya$u^TXv$identik dengan nol. Sejak$u$ sewenang-wenang, $Xv$ harus menjadi vektor nol.