Membedakan $x^x$ "langsung"

Question

Saya tahu turunannya adalah $x^x\log x+x^x$, tapi saya mendapatkannya dengan menggunakan diferensiasi logaritmik. Apakah mungkin untuk mendapatkan ini 'secara langsung' tanpa memasukkan log atau eksponensial?

Answer 1

Ada trik bagus menggunakan kalkulus multivariabel yang entah bagaimana lebih alami: jika Anda menulis $f(y, z) = y^z$ dan $g(x) = (x, x)$ untuk peta diagonal, lalu $x^x = f(g(x))$. Sekarang perbedaan$f$ pada suatu titik $(y, z)$ adalah $(z y^{z-1}, y^z \log y)^T$ dan perbedaan $g$ hanya $(1,1)$, jadi menurut aturan rantai, turunan dari $x^x$ adalah $x x^{x-1} \cdot 1 + x^x \log x \cdot 1 = x^x(1+\log x)$.

Answer 2

Saya akan berasumsi yang Anda maksud adalah membedakan dari prinsip pertama, daripada menggunakan$$y:=x^x\implies\ln y=x\ln x\implies y^\prime/y=(x\ln x)^\prime.$$Anda perlu mengevaluasi$$\begin{align}\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{x+h}-x^x}{h}&=x^x\lim_{h\to0}\frac{e^{h\ln x}(1+h/x)^x(1+h/x)^h-1}{h}\\&=x^x\lim_{h\to0}\frac{(1+h\ln x+o(h))(1+h+o(h))(1+O(h^2))-1}{h}\\&=x^x(\ln x+1).\end{align}$$

Answer 3

Jika $y$ dan $z$ adalah fungsi dari $x$, lalu turunan total suatu fungsi $f(y,z)$ dengan hormat $x$ sama $$ \frac d{dx} f(y,z) = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dx}. \tag{*} $$ Dari fakta kalkulus multivariabel ini, kita dapat memperoleh beberapa aturan diferensiasi kalkulus satu variabel:

• Pengambilan $f(y,z) = yz$, kita punya $\frac{\partial f}{\partial y} = z$ dan $\frac{\partial f}{\partial z} = y$, dan (*) menjadi aturan hasil kali $$ \frac d{dx}(yz) = z \frac{dy}{dx} + y \frac{dz}{dx}. $$
• Pengambilan $f(y,z) = \frac yz$, kita punya $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac1z$ dan $\frac{\partial f}{\partial z} = -\frac y{z^2}$, dan (*) menjadi aturan hasil bagi $$ \frac d{dx}\bigg( \frac yz \bigg) = \frac1z \frac{dy}{dx} -\frac y{z^2} \frac{dz}{dx} = \frac{z \frac{dy}{dx} - y \frac{dz}{dx}}{z^2}. $$
• Akhirnya, pengambilan $f(y,z) = y^z$, kita punya $\frac{\partial f}{\partial y} = zy^{z-1}$ dan $\frac{\partial f}{\partial z} = y^z\log y$, dan (*) menjadi $$ \frac d{dx}(y^z) = zy^{z-1} \frac{dy}{dx} + y^z\log y \frac{dz}{dx}. $$ Secara khusus, pengaturan $y=x$ dan $z=x$, yang seperti itu $\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}=1$, hasil $$ \frac d{dx}(y^z) = x\cdot x^{x-1} 1 + x^x\log x\cdot 1 = x^x(1+\log x). $$

Eksploitasi turunan total ini juga membantu turunan ekspresi seperti $\int_a^x f(x,t)\,dt$, dan membantu menjelaskan mengapa aturan yang sangat berbeda ini semuanya memiliki bentuk "seolah-olah semua kecuali satu fungsi $x$ adalah konstan, satu per satu, dan tambahkan semua turunan pura-pura tersebut untuk mendapatkan turunan sebenarnya ".

Answer 4

Mempertimbangkan,

$$f(x) = x^x$$

Kemudian,

$$ f(x+h) = (x+h)^{x+h} = x^{x} x^h ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h}$$

Sekarang, pertimbangkan istilah paling kanan dalam tanda kurung,

$$ ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h} = 1+ (x+h) \frac{h}{x} + \frac{ (x+h)(x+h-1)}{2!} ( \frac{h}{x})^2...= 1+h+ O(h^2)$$

Dan,

$$ x^{h} = e^{( h )\ln x} = 1 + h \ln x +O \left(h^2\right)$$

Karenanya,

$$ f(x+h) = x^x \left[ 1 + h \ln x +O \left(h^2\right) \right] \left[ 1+h+ O(h^2) \right] = x^x [1+h \left( 1+ \ln x \right) +O(h^2)] = x^x + hx^x (1+\ln x) +O(h^2) $$

Dengan definisi bahwa turunan adalah variasi orde pertama,

$$ f'(x) = x^x (1+ \ln x)$$

Referensi