Membuktikan set Cantor ditutup

Question

Saya mencoba memahami jawaban yang diterima untuk Membuktikan set Cantor ditutup (tanpa menggunakan fakta "persimpangan set tertutup ditutup") . Saya tidak melihat di mana$t$ berasal dari, atau mengapa $s$ dan $t$selalu positif, bukan hanya non-negatif. Saya juga tidak mengerti bagaimana orang bisa mengatakan "Jika$x_n < x$ kemudian $x_n \leq \sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}+3^{−r}$, darimana $x−x_n \geq s$, dan demikian pula, jika $x_n > x$ kemudian $x_n-x \geq t$Bantuan apa pun dalam menjelaskan rincian bukti akan sangat kami hargai.

Answer 1

Kita punya

$$x=0.d_1d_2\ldots d_{r-1}1d_{r+1}\ldots\,,$$

di mana setidaknya ada satu $k>r$ seperti yang $d_k\ne 0$ dan setidaknya satu $k>r$ seperti yang $d_k\ne 2$. (Semua ekspansi di sini terner.) Artinya$x$adalah ketat antara

$$a=0.d_1d_2\ldots d_{r-1}1=\sum_{k=1}^r\frac{d_k}{3^k}$$

dan

$$b=0.d_1d_2\ldots d_{r-1}1222\ldots=0.d_1d_2\ldots d_{r-1}2=\frac2{3^r}+\sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}\,.$$

Kami sekarang sudah siap

$$s=x-a=\sum_{k\ge r+1}\frac{d_k}{3^k}=x-3^{-r}-\sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}$$

dan

$$t=b-x=\left(\frac2{3^r}+\sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}\right)-x\,;$$

$a<x<b$, jadi $s,t>0$. Sekarang kita punya$a+s=x=b-t$, yaitu,

$$x=\sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}+3^{-r}+s=\sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}+2\cdot3^{-r}-t\,.$$

Sekarang perhatikan bahwa sejak anggota $C$ harus memiliki ekspansi terner yang tidak berisi $1$, anggota terkecil dari $C$ lebih besar dari $$a=\sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}+3^{-r}=0.d_1d_2\ldots d_{r-1}1$$ aku s $0.d_1d_2\ldots d_{r-1}2=b$: tidak ada anggota dari $C$ terletak di antara keduanya $a$ dan $b$. Artinya jika$y\in C$, lalu salah satunya $y\le a$, atau $y\ge b$. Secara khusus, jika$x_n<x$, kemudian $x_n\le a$, jadi $x-x_n\ge x-a=s>0$, dan jika $x_n>x$, kemudian $x_n\ge b$, jadi $x_n-x\ge b-x=t>0$, hanya karena $x_n\in C$.

Answer 2

Untuk pertanyaan pertama Anda:

Saat mereka menulis, "Lalu $x$ memiliki ekspansi terner yang berisi digit pertama $d_r=1$, dan tidak semua digit berikutnya $=0$ atau semua digit berikutnya $=2$, "maksud mereka $x$ terlihat seperti itu $0.2202...1...$*

Namun mereka mengklarifikasi bahwa mereka tidak ingin berada pada posisi dimana $x=0.2202...1\dot0$ dalam hal ini kami akan melakukannya $x\in C$ karena $x=0.2202...0\dot2$. Kami juga tidak mau$x=0.2202...1\dot2$ dalam hal ini $x=0.2202...2\dot0$ sekali lagi $x\in C$.

Oleh karena itu, x tepat di antara keduanya $0.2202...1\dot0$ dan $0.2202...1\dot2$ dan ketimpangan STRICT ini memungkinkan kita untuk mengambil angka positif $s=x-0.2202...1\dot0$ dan $t=0.2202...1\dot2-x$.

Untuk pertanyaan kedua Anda:

Karena $x_n\in C$, dan $x_n < x=0.2202...1...$, kemudian $x_n\le0.2202...\dot0$ jika tidak $x_n$ pasti akan $1$ sebagai nya $r$digit th dan ini berarti $x_n\notin C$.

(* Perhatikan bahwa saya menulis menggunakan $0.2202...1...$daripada notasi sigma untuk memberikan intuisi pada pembuktian. Tentu saja pilihan$2202$ di sini sewenang-wenang.)