Menemukan 4 Statistik Cukup Berbeda

Question

Jika $X_1, ..., X_n$ adalah sampel acak yang diambil dari populasi geometris formulir $$ P(X = x;p) = p(1-p)^x, $$ untuk $x = 0, 1, 2, ...,$ dan $0 < p < 1$, temukan empat statistik yang cukup berbeda untuk $p$.

Percobaan :

Saya telah menemukan PMF gabungan dari sampel acak

$$ P(\mathbf{X} = \mathbf{x}; p) = p^n(1-p)^{\sum x_i}, ~~ x_i = 0, 1, 2, ..., ~~\text{and}~~ 0 < p < 1. $$

Satu-satunya statistik yang cukup yang dapat saya pikirkan adalah $T(\mathbf{X}) = \sum X_i$, total sampel.

Penulisan gabungan pmf dalam bentuk eksponensial, saya temukan

$$ P(\mathbf{X} = \mathbf{x}; p) = \operatorname{exp}\Bigl[n\text{ln}(p) + \sum x_i \text{ln}(1-p)\Bigr] $$

Saya tidak melihat bagaimana itu membantu.

Answer 1

Petunjuk :

Seluruh sampel itu sendiri merupakan statistik yang cukup dengan $T(\mathbf{X}) = \mathbf{X}$ (Mengapa?).

Untuk statistik lain yang cukup, ingatlah bahwa setiap statistik yang cukup minimal sudah cukup, dan gunakan teorema berikut (Teorema 6.2.13) di Casella dan Berger:

Membiarkan $f(\mathbf{x} \mid \theta)$ jadilah pmf atau pdf dari sampel $\mathbf{X}$. Misalkan ada fungsi$T(\mathbf{x})$ sedemikian rupa, untuk setiap titik sampel $\mathbf{x}$ dan $\mathbf{y}$, rasio $f(\mathbf{x} \mid \theta)/f(\mathbf{y} \mid \theta)$ konstan sebagai fungsi dari $\theta$ jika dan hanya jika $T(\mathbf{x}) = T(\mathbf{y})$. Kemudian$T(\mathbf{X})$ adalah statistik yang cukup minimal untuk $\theta$.

Jika Anda menerapkan metode ini, Anda akan mendapatkannya $T(\mathbf{X}) = \sum X_i$ cukup, tetapi perhatikan hal-hal berikut: statistik yang cukup ini membuat $f(\mathbf{x} \mid \theta)/f(\mathbf{y} \mid \theta)$ konstan jika dan hanya jika $T(\mathbf{x}) = T(\mathbf{y})$.

Membiarkan $g: A \to B$ dengan $A, B \subset \mathbb{R}$menjadi fungsi satu-ke-satu. Ini mengikuti itu$T(\mathbf{x}) = T(\mathbf{y})$ jika dan hanya jika $g(T(\mathbf{x}) = g(T(\mathbf{y}))$. Jadi$f(\mathbf{x} \mid \theta)/f(\mathbf{y} \mid \theta)$ konstan jika dan hanya jika untuk fungsi satu-ke-satu $g$, $g(T(\mathbf{x}) = g(T(\mathbf{y}))$. Jadi,$g(T(\mathbf{X}))$ minimal cukup dan dengan demikian cukup untuk $\theta$.

Jadi, jika Anda memiliki statistik yang cukup minimal untuk $\theta$, fungsi satu-ke-satu dari statistik yang cukup minimal untuk $\theta$ juga minimal cukup, dan karenanya cukup.