Mengapa $\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$?

Question

Masalahku:

Seharusnya $\mathcal{E}$ dan $\mathcal{H}$ adalah sub-$\sigma$-algebras dari $\sigma$-aljabar $\mathcal{F}$. Membiarkan$X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ dan $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$. Seandainya$\mathcal{E}$ independen dari $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$.

Kemudian $$\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$$

Upaya saya:

Saya mencoba menggunakan karakterisasi $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]Z]$ untuk semua $\mathcal{H}$-variabel acak terukur dan dibatasi atau $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\sigma(X))]Z]$ untuk semua $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$-variabel acak yang dapat diukur dan dibatasi.

Answer 1

Ini adalah hasil yang diketahui oleh Doob.

Teorema: Biarkan$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ dan $\mathscr{C}$ menjadi sub--$\sigma$--algebras dari $\mathscr{F}$. $\mathscr{A}\perp_\mathscr{C} \mathscr{B}$ iff $$ \begin{align} \Pr[A|\sigma(\mathscr{C},\mathscr{B})]=\Pr[A|\mathscr{C}]\tag{1}\label{doob-independence} \end{align} $$ untuk semua $A\in \mathscr{A}$.

Ini bukti tembakannya:

Seandainya $\mathscr{A}$ dan $\mathscr{B}$ diberikan independen bersyarat $\mathscr{C}$, itu adalah $$ \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr[A|\mathscr{C}] \Pr[B|\mathscr{C}] $$ untuk semua $A\in \mathscr{A}$ dan $B\in \mathscr{B}$. Lalu, untuk apa saja$A\in\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ dan $C\in\mathscr{C}$ kita punya $$ \begin{align} \Pr\big[A\cap\big(C\cap B)\big]&=\Pr\big[ \mathbb{1}_C\Pr[A\cap B|\mathscr{C}]\big]= \Pr\big[\mathbb{1}_C\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}]\big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B\cap C|\mathscr{C}]\big]= \Pr\Big[\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big|\mathscr{C}\big]\Big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big] \end{align} $$ Sejak $\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})=\sigma\Big(\{B\cap C: B\in\mathscr{B}, C\in\mathscr{C}\}\Big)$, argumen kelas monoton menunjukkan itu $$ \begin{align} \Pr[A\cap H]=\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_H \big] \end{align} $$ untuk semua $H\in\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})$. Artinya itu$$ \Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]=\Pr[A|\mathscr{C}] $$

Sebaliknya, anggap saja $\eqref{doob-independence}$memegang. Untuk apapun$A\in\mathscr{A}$ dan $B\in\mathscr{B}$ kita punya \begin{align*} \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr\Big[\mathbb{1}_{B}\Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]\Big| \mathscr{C}\Big]= \Pr\Big[\mathbb{1}_B\Pr[A|\mathscr{C}]\Big|\mathscr{C}\Big] =\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}] \end{align*} Ini menunjukkan itu $\mathscr{A}$ dan $\mathscr{B}$ diberikan secara independen $\mathscr{C}$.

Perluasan variabel acak dilakukan dengan memperluas pertama ke fungsi sederhana dan kemudian dengan pendekatan monoton biasa dengan fungsi sederhana.