Mengapa operator peringkat terbatas Hilbert Schmidt ??

Question

Membiarkan $H_1,H_2$ menjadi dua Hilbert Spaces dan $T:H_1 \to H_2$ operator linier peringkat terbatas, yaitu $dim[T(H_1)]=m<+\infty$.

Saya perlu menunjukkan itu $T$ adalah operator Hilbert-Schmidt, yaitu, diberi basis Hilbert $\{e_\alpha\}_{\alpha \in J}$ $$\|T\|^2_{HS} = \sum_{\alpha \in J}\|T(e_\alpha)\|^2<\infty.$$

Sekarang, sebagai $T$ memiliki pangkat terbatas, ada basis ortogonal $\{y_1,...,y_m\}\subset H_2$ dari $T(H_1)$ seperti yang $$T(x) = \sum_{i=1}^m a_i(x)y_i$$

Menggunakan ini yang kami miliki

$$\|T\|^2_{HS} \leq \sum_{\alpha \in J} \sum_{i=1}^m |a_i(x)|^2 \|y_i\|^2 =\sum_{\alpha \in J} \sum_{i=1}^m |a_i(x)|^2 $$

Tapi mengapa ini terbatas?

---

Rupanya semua orang sepertinya membicarakan operator Hilbert-Schmidt hanya dalam konteks di mana $T:H \to H$. Dalam kasus ini, mudah untuk menunjukkan klaim karena kami dapat mengambil basis ortonormal$\{e_\alpha\}_{\alpha \in J}$ dan sebagai $T$ memiliki peringkat terbatas, ada $I \subset J$ terbatas dengan $T(e_\alpha) = 0 \; \forall \alpha \in J\setminus I$ dan deret norma Hilbert-Schmidt sebenarnya adalah jumlah yang terbatas.

Masalahnya adalah sebelumnya kita memiliki ruang yang berbeda $H_1$ dan $H_2$. Bisakah saya berpisah$H_1 = A \bigoplus B$ yang seperti itu $T(B) = 0$ dan $dim(A)<\infty$? Itu akan menyelesaikan masalah.

Answer 1

Ekspresi $$ \sum_{\alpha \in J} \sum_{i=1}^m |a_i(x)|^2 $$ adalah (biasanya) tidak terbatas, karena Anda memiliki jumlah tak terbatas atas sesuatu yang tidak bergantung $\alpha$. Jadi jika$|a_i(x)|\neq0$ untuk beberapa $i$ dan $x$, maka ekspresinya tidak terbatas.

Petunjuk untuk solusi umum:

Dekomposisi operator $T$ menjadi banyak operator $T_i:H_1\to\Bbb C$. Kemudian Anda bisa mewakili$T_i$ oleh beberapa $y_i\in H_1$. Menunjukkan bahwa$T_i$ adalah penggunaan Hilbert-Schmidt $y_i$.

Ini harus mengarah pada ekspresi formulir $$ \sum_{\alpha\in J} |(y_i,e_\alpha)|^2, $$ (dimana $\{e_\alpha\}_{\alpha\in J}$ adalah basis Hilbert) yang dapat dibuktikan terbatas.