Mengapa pi tidak berulang?
Ok, saya baru saja mempelajari Prinsip Pigeonhole (PHP) dan penerapannya dengan pemekaran desimal.
Untuk menyampaikan pertanyaan saya dengan jelas, saya perlu menyampaikan pemahaman saya tentang PHP sehubungan dengan ekspansi desimal jadi begini ...
Dengan proses pembagian yang panjang, kita dapat memperoleh sisa yang tak terbatas sejak $0$juga dianggap sebagai sisa (lihat Fig 1untuk mendapatkan apa yang saya maksud) yang mana$>$jumlah terbatas dari kemungkinan nilai sisa (dengan teorema hasil bagi-sisa,$0≤r<d $)
→ Dengan PHP , kita pasti akan mendapatkan sisa yang nilainya sama dengan nilai sisa sebelumnya (Pada Gambar 1, kita mencetak hit ketika r 7 = r 1 )
→ Dengan demikian di beberapa titik, urutan sisa akan berulang tanpa batas
→ Urutan sisa ini bisa berupa nol atau bukan nol
→ Jika itu adalah urutan nol, kita mendapatkan desimal pengakhir seperti $2$(seperti dalam $2.\color{red}{\overline{000}}\ldots$$... $ ) atau $ 3,625 $ (seperti pada $ 3,625 \ color {red} {\ overline {000}} \ ldots$$...$)
→ Jika urutannya bukan nol, kita mendapatkan desimal berulang seperti $3/14$=$0.2\color{red}{\overline{142857}}\ldots$
Pertanyaan saya: Jadi mengapa PI tidak termasuk dalam salah satu kategori ini? Apakah itu melanggar PHP ?
Mohon maaf atas tangkapan layar sebelumnya.
Gambar 1:
Jawaban
Langkah kedua dari kesimpulan Anda perlu dibenarkan dengan lebih baik. Perhatikan bahwa dalam pengaturan Anda pembagi$d$harus dalam bilangan bulat agar penerapan PHP masuk akal. Sekarang ada dua kasus.
Dividen adalah bilangan bulat, yang direpresentasikan sebagai $n.00000\ldots$. Kemudian Anda dapat menggunakan PHP untuk menyatakan bahwa di beberapa sisa yang diperoleh setelah koma desimal berulang. Jadi kamu punya$r_k=r_{k+n}$ untuk $k,n$diperoleh setelah koma desimal. Maka Anda perlu memperdebatkan lebih lanjut yang menjatuhkan$0$ di $r_{k+n}$ menghasilkan pola pembagian periodik panjang $n$ dari sana, yang menghasilkan desimal berulang dalam jawaban Anda.
Dividen bukanlah bilangan bulat, tetapi beberapa bilangan real yang berubah-ubah. Dalam kasus ini, PHP memberi tahu Anda mendapatkan sisa duplikat. Tetapi Anda tidak akan dapat membantah lebih lanjut bahwa daftar sisa pada akhirnya akan berulang. Misalnya pertimbangkan membagi$2$ ke $0.10100100010000\ldots$ (di sini saya punya $1$ diikuti oleh $n$ nol untuk $n=1$ untuk $\infty$). Daftar sisa Anda adalah$0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0\ldots$tanpa pengulangan. Namun, bahkan jika Anda mendapatkan urutan sisa yang berulang, ini tidak berarti jawaban Anda adalah desimal yang berulang. Misalnya, pertimbangkan bilangan real apa pun$x$, direpresentasikan sebagai desimal $a_0.a_1a_2a_3\ldots$. Lakukan pembagian panjang yang sepele$1$ ke $x$. Anda akan mendapatkan sisanya$0$ setiap kali, tetapi urutan desimal dalam hasil bagi tidak perlu (pada akhirnya) berulang.
Sekarang, untuk $\pi$, itu harus cocok dengan kasus kedua , karena jika Anda memulai pembagian panjang dengan pembagi dan pembagi adalah bilangan bulat, Anda sudah menghitung bilangan rasional.
$\pi$adalah bilangan transendental dan bukan bilangan rasional. Argumen PHP tampaknya berlaku untuk bilangan rasional.
Anda berasumsi bahwa Anda dapat menghitung $\pi$ dengan membagi satu bilangan dengan bilangan terbatas yang diketahui dengan bilangan lain dengan jumlah digit yang diketahui dan terbatas.
Ini adalah definisi yang sebenarnya dari apa artinya angka menjadi rasional. Dan memang argumen Anda adalah bukti yang benar bahwa representasi desimal dari bilangan rasional apa pun berulang.
Tapi $\pi$tidak rasional. Ini tidak dapat dihitung dengan membagi satu angka dengan angka yang diketahui dan terbatas dengan angka lain dengan angka yang diketahui dan terbatas.