Menggunakan definisi limit

Question

Saya perlu membuktikan itu $\lim_{x\to 0}\frac{ax + b}{cx + d} = \frac{b}{d}$ menggunakan bukti gaya 𝜖, 𝛿

Ada ide tentang bagaimana melakukan ini?

Answer 1

Petunjuk: pertimbangkan perbedaan $\left|\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{b}{d}\right|$ dan mencoba untuk memperkirakan, tentu saja, dengan asumsi, kondisi alam pecahan: $$\left|\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{b}{d}\right| = \left|\frac{x(ad-bc)}{d(cx+d)}\right|= |x|\left|\frac{(ad-bc)}{d(cx+d)}\right|$$ Untuk kesederhanaan mari kita asumsikan $c,d>0$, kemudian, memiliki $-\delta<x<\delta$ kami dapatkan $-c\delta+d<cx+d<c\delta+d$. Jadi, kita bisa mempertimbangkannya$\delta>0$ untuk itu $|cx+d|>M>0$. Mengambil, misalnya$\delta >\frac{d}{2c}$ memberi $|cx+d|>\frac{d}{2}$ Jadi kami akan melakukannya $$\left|\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{b}{d}\right| < \delta\frac{2|ad-bc|}{d^2}<\varepsilon$$. Ini adalah kondisi kedua$\delta$ dan bergabung dengan bukti hasil akhir pertama.