Menghitung Masalah: Koper

Question

Misalkan Anda dan seorang teman diberikan sembilan koper yang tampak identik, tiga di antaranya memiliki $ 100 di dalamnya sementara sisanya kosong. Anda berdua mengambil giliran memilih koper (orang pertama memilih 5 dan yang kedua memilih 4), dan hanya di akhir koper dibuka. Saya telah melakukan 1-4 bagian dari pertanyaan HW ini tetapi tidak yakin bagaimana melakukan yang terakhir:

1. Jika Anda pergi dulu, berapa probabilitas Anda memilih tas kerja kosong pada giliran pertama Anda.
2. Katakanlah Anda pergi dulu dan mengambil koper kosong. Berapa probabilitas bahwa teman Anda juga mengambil koper kosong pada giliran pertama mereka, mengingat Anda juga memilih koper kosong pada giliran pertama Anda.
3. Katakanlah Anda pergi dulu dan mengambil tas kerja dengan 100 dolar. Berapa probabilitas teman Anda mengambil tas kerja kosong pada giliran pertama mereka, mengingat Anda juga memilih tas dengan 100 dolar pada giliran pertama Anda.
4. Jika permainan berakhir setelah setiap orang hanya memiliki satu kesempatan, tunjukkan bahwa kemungkinan bahwa Anda memilih tas kerja dengan 100 dolar adalah sama terlepas dari apakah Anda memulai atau tidak.
5. Jika permainan berakhir setelah setiap koper diambil, apakah lebih baik untuk memulai atau pergi yang kedua?

EDIT: Tujuan permainan ini adalah menghasilkan uang sesedikit mungkin karena 'perjudian itu buruk'.

---

Upaya saya:

1. Jawabannya adalah tidak. cara Anda dapat memilih koper kosong dibagi dengan no. cara Anda dapat memilih tas kerja. Ini adalah 6C1 (karena ada 6 koper kosong) dibagi dengan 9C1 yang sama dengan 2/3.

2. Saya yakin jawabannya adalah 2/3 (dari bagian 1) dikalikan dengan 5C1 (karena sekarang ada 5 koper kosong yang tersisa dan teman mengambil salah satunya) dibagi dengan 8C1 (karena sekarang hanya ada 8 koper yang tersisa untuk dipilih ). Ini kira-kira. 0.4167.

3. Saya yakin ini $ \ frac {3C1} {9C1} \ cdot \ frac {6C1} {8C1} $ karena orang pertama harus memilih salah satu dari tiga koper uang dari total 9, sedangkan orang kedua harus memilih salah satu dari 6 koper kosong dari 8 yang tersisa. Ini adalah 0,25.

4. Cara saya mendekati ini adalah dengan mempertimbangkan empat peristiwa berbeda, di mana:

   • Peristiwa A: Anda duluan dan dapat 100 dolar, kemudian teman memilih kosong.
   • Event B: Kamu duluan dan dapat 100 dollar, lalu sobat juga mendapat 100 dollar.
   • Peristiwa C: Teman Anda duluan dan mendapat 100 dolar, lalu Anda juga mendapat 100 dolar.
   • Peristiwa D: Teman Anda pergi dulu dan memilih kosong, lalu Anda mendapat 100 dolar.

   Oleh karena itu, jika Anda duluan, probabilitas mendapatkan 100 dolar adalah probabilitas peristiwa A ditambah probabilitas peristiwa B. Jika Anda ke urutan kedua, probabilitas peristiwa C ditambah probabilitas peristiwa D. Kedua ekspresi ini adalah $ \ frac {3C1 \ cdot 6C1} {9C1 \ cdot 8C1} + \ frac {3C1 \ cdot 2C1} {9C1 \ cdot 8C1} $ yang 1/3.

5. Bagian ini saya bingung bagaimana mendekati, karena ada banyak urutan berbeda mungkin memilih 6 koper kosong dan 3 dengan 100 dolar.

Saran apa pun akan sangat dihargai.

Answer 1

Jika Anda duluan, jumlah koper "uang" yang Anda dapatkan mengikuti distribusi hipergeometrik , karena lima koper Anda diambil tanpa penggantian dari populasi$3$ koper "uang" dan $6$ yang kosong.

$$P(X=k) = \begin{cases} \frac{\binom{3}{0} \binom{6}{5}}{\binom{9}{5}} = \frac{6}{\binom{9}{5}} & k=0 \\ \frac{\binom{3}{1} \binom{6}{4}}{\binom{9}{5}} = \frac{45}{\binom{9}{5}} & k = 1 \\ \frac{\binom{3}{2} \binom{6}{3}}{\binom{9}{5}} = \frac{60}{\binom{9}{5}} & k = 2 \\ \frac{\binom{3}{3} \binom{6}{2}}{\binom{9}{5}} = \frac{15}{\binom{9}{5}} & k = 3 \end{cases}$$

Jika Anda memilih urutan kedua, probabilitas yang sesuai akan berada dalam urutan terbalik. Anda dapat melihat bahwa pemain yang pergi lebih dulu cenderung mendapatkan lebih banyak koper uang.

Answer 2

Jawaban Anda di # 2 salah.

Katakanlah Anda pergi dulu dan mengambil koper kosong. Berapa probabilitas bahwa teman Anda juga mengambil koper kosong pada giliran pertama mereka, mengingat Anda juga memilih koper kosong pada giliran pertama Anda.

Anda diminta untuk berasumsi bahwa Anda telah sudah pergi pertama dan mengambil sebuah tas kosong. Artinya ada 8 koper yang tersisa hanya 5 yang kosong.

Jawabannya adalah

$$\frac{5}{8}.$$

Untuk alasan yang sama seperti di atas, jawaban dari # 3 adalah

$$\frac{6}{8}.$$

# 4 rumit dan dapat diserang dengan dua cara berbeda.

Pendekatan pejalan kaki adalah itu

• kesempatan Anda untuk membawa koper dengan uang, jika Anda pergi dulu adalah $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

• Jika Anda memilih posisi kedua, ada dua kemungkinan - teman Anda memilih koper kosong, dan kemudian Anda memilih satu dengan uang, atau teman Anda memilih koper berisi uang dan kemudian Anda juga memilih satu dengan uang.

  Kemungkinan gabungan di sini adalah $\left(\frac{6}{9} \times \frac{3}{8}\right) ~+~ \left(\frac{3}{9} \times \frac{2}{8}\right) ~=~ \frac{24}{72} = \frac{1}{3}.$

Analisis yang lebih elegan adalah dengan alasan bahwa memilih tas kerja secara matematis setara dengan menyerahkan tas kerja secara acak. Jika moderator mengambil dua koper secara acak, satu untuk Anda, dan satu untuk teman Anda, kemungkinan koper Anda berisi uang tidak terpengaruh oleh apakah moderator menyerahkan koper Anda sebelum atau setelah moderator menyerahkan kopernya kepada teman Anda.

Sunting
Saya salah menafsirkan

Jika permainan berakhir setelah setiap koper diambil, apakah lebih baik untuk memulai atau pergi yang kedua?

Kalau duluan, kamu akan diberikan 5 koper dan temanmu hanya akan diberikan 4 koper. Ini sama dengan berpura - pura bahwa ada 10 koper, bukan 9, dan koper ke-10 terpaksa dikosongkan.

Oleh karena itu, jika Anda pergi dulu, Anda akan memiliki 5 koper, yang mana pun mungkin punya uang. Jika Anda pergi kedua, salah satu tas Anda (tas ke-10 imajiner) terpaksa dikosongkan.

Oleh karena itu, orang yang berada di urutan kedua bisa berharap mendapatkan lebih sedikit uang.