menjumlahkan deret binomial ini

Question

Saya menemukan pertanyaan yang sangat menarik yaitu sebagai berikut: Buktikan bahwa nilai $$\sum^{7}_{k=0}[({7\choose k}/{14\choose k})*\sum^{14}_{r=k}{r\choose k}{14\choose r}] = 6^7$$

pendekatan saya:

Saya mencoba menyederhanakan sigma terdalam serta mencoba menyederhanakan dengan menggunakan ${n\choose k}=n!/k!(n-k)!$ Namun saya tidak bisa mendapatkan yang satu ini.

Dugaan saya adalah bahwa penjumlahan disederhanakan menjadi seri standar tetapi saya tidak dapat mengatakan dengan pasti. Mohon bantu saya.

Answer 1

Pertama, saya rasa jumlahnya tidak tepat. Batas di luar jumlah seharusnya $k=0$ untuk $7$, Saya yakin, jika tidak, nilainya tidak $6^7$. (Pertanyaan sekarang diperbaiki)

Anda berada di jalur yang benar bahwa menulis ulang koefisien binomial dalam bentuk faktorial akan membantu. Padahal faktor-faktor di dalamnya dijumlahkan$r$tidak akan banyak menyederhanakan sendiri. Solusinya adalah dengan menghadirkan faktor tersebut$1/\binom{14}{k}$ke dalam jumlah kedua. Ini memberi kita$$ \left.\frac{r!}{k!(r-k)!}\frac{14!}{r!(14-r)!}\right/\frac{14!}{k!(14-k)!} = \frac{(14-k)!}{(r-k)!(14-k)!}\ . $$ Ini bisa dikenali sebagai $\binom{14-k}{r-k}$. Perhatikan bahwa jumlah dalam berasal dari$r = k$ untuk $14$, kita bisa membiarkan $t = r-k$, dan ubah batas menjadi $0$ dan $14-k$. Ini mengubah jumlah batin menjadi$$ \sum_{t=0}^{14-k} \binom{14-k}{t} = 2^{14-k}\ . $$ Jumlah terluar sekarang dapat dievaluasi, $$ \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} 2^{14-k} = 2^7\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k} 2^{7-k} = 2^7(1+2)^7 = 6^7\ . $$

Answer 2

Menggunakan $${14 \choose r}{r \choose k} = {14 \choose k}{14-k \choose r-k}$$ diberikan pengurangan menjadi

$$ \begin{align*} & \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \bigg\{\sum^{14}_{r=k} {14-k \choose r-k} \bigg\} \\ & = \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \{2^{14-k}\} \\ & = 2^{7} \times \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} 2^{7-k} \\ & = 2^{7}\times(2+1)^{7} \\ & = 6^7 \end{align*} $$

Edit: Seperti yang ditunjukkan oleh @ElliotYu, batas luar harus dari$0$ untuk $7$.

Answer 3

Pengaturan $n=7$ kami dapatkan \begin{align*} \color{blue}{\sum_{k=0}^n}&\color{blue}{\binom{n}{k}\binom{2n}{k}^{-1}\sum_{r=k}^{2n}\binom{r}{k}\binom{2n}{r}}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{k!(2n-k)!}{(2n)!}\sum_{r=k}^{2n}\frac{r!}{k!(r-k)!}\,\frac{(2n)!}{r!(2n-r)!}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\sum_{r=k}^{2n}\binom{2n-k}{r-k}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n }{k}\sum_{r=0}^{2n-k}\binom{2n-k}{r}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^{2n-k}\\ &=2^{2n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{2^k}\\ &=2^{2n}\left(1+\frac{1}{2}\right)^n\\ &\,\,\color{blue}{=6^n} \end{align*} dan klaim mengikuti.