Menunjukkan bahwa $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$

Question

Seharusnya $(X,\mathcal{A},\mu)$ adalah ruang ukuran dan $f:X\to\mathbb{R}$dapat diukur. Menunjukkan bahwa

1. $\lambda(A)=\mu(f^{-1}(A))$ mendefinisikan ukuran di $\sigma$-aljabar dari subset Borel dari $\mathbb{R}$
2. Menunjukkan bahwa $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$ untuk setiap fungsi Borel $g:\mathbb{R}\to [0,\infty]$

Di sini saya bisa membuktikan bagian 1.
Tapi saya kesulitan dengan bagian 2.

Saya tahu bahwa integral dari $g$ didefinisikan dengan suprimum integral dari fungsi sederhana $\phi\leq g$.

Jadi saya pertama kali mencoba membuktikan hasil untuk fungsi sederhana:
Jadi mari$\phi(x)=\sum\limits_{k=1}^{k=n}a_k\chi_{E_k}(x)$ menjadi fungsi sederhana.

Begitu $\int\phi d\lambda=\sum a_k\lambda(E_k)=\sum a_k\mu(f^{-1}(E_k))$
Dan setelah itu saya tidak dapat melihat cara yang tepat untuk melanjutkan.

Hargai bantuan Anda

Answer 1

Kesetaraan untuk fungsi sederhana terbukti di komentar. Untuk fungsi non-negatif umum kita dapat melanjutkan seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

Untuk apapun $g \geq 0$ ada urutan yang tidak menurun$(\alpha_n)$fungsi sederhana konvergen pointwise ke itu. Kami kemudian memiliki:

$$(\alpha_n\circ f)(x) = \alpha_n(f (x)) \leq \alpha_{n+1}(f(x)) \rightarrow g(f(x)) $$

Dengan teorema konvergensi monoton kita mendapatkan:

$$ \int_{\mathbf{R}} \alpha_n d\lambda =\int_{X} \alpha_n\circ f d\mu \rightarrow \int_X g\circ f d\mu $$