Merekatkan bidang vektor

Question

Membiarkan $M$ menjadi manifold halus dan $\mathcal{A} = \{(U_i, \varphi_i)~|~i \in I\}$atlas terkait yang halus. Saya memiliki bidang vektor yang halus$X_i$ pada setiap $U_i$ seperti itu $i, j \in I$, $X_i$ dan $X_j$ sama $U_i \cap U_j$. Apakah ada teorema yang memungkinkan saya untuk "merekatkan" bidang vektor ini,$i.e.$ apakah ada bidang vektor (unik) $X$ di $M$ seperti yang $X\big|_{U_i} = X_i$? Terima kasih banyak!

Answer 1

Ya, sebenarnya kami memiliki hasil yang sedikit lebih umum, muncul di Lee's Introduction to Smooth Manifold 2nd ed, sebagai berikut:

Akibat wajar 2.8 (Merekatkan Lemma untuk Peta Halus) Let$M$ dan $N$ menjadi lipatan halus dengan atau tanpa batas, dan biarkan $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ menjadi sampul terbuka $M$. Misalkan untuk masing-masing$\alpha \in A$, kami diberi peta yang mulus $F_{\alpha} : U_{\alpha} \to N$ sedemikian rupa sehingga peta menyetujui tumpang tindih: $F_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} =F_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}$ untuk semua $\alpha$ dan $\beta$. Lalu ada peta halus yang unik$F : M \to N$ seperti yang $F|_{U_{\alpha}} = F_{\alpha}$ untuk setiap $\alpha \in A$.

Ini hanyalah konsekuensi dari fakta jika peta $F: M \to N$ halus secara lokal, lalu peta $F$ halus.