MGF Distribusi Binomial Negatif

Question

Halaman Wikipedia Distribusi Binomial Negatif mencantumkan Fungsi Penghasil Momen sebagai $(\frac{1 - p}{1 - pe^t})^r$.

Namun, halaman Fungsi Penghasil Momen mencantumkan MGF dari Distribusi Binomial Negatif sebagai $(\frac{pe^t}{1 - e^t + pe^t})^r$.

Desmos mengungkapkan ini tidak setara secara aljabar. Mana yang benar, dan mengapa ada perbedaan?

Answer 1

Itu cukup untuk melakukan kasus di mana $r=1.$

• Membiarkan $X$ menjadi jumlah uji coba independen sebelum sukses pertama, dengan probabilitas $p$kesuksesan di setiap percobaan. Kemudian$X\in\{0,1,2,3,\ldots\}$ dan $\Pr(X=x) = (1-p)^x p.$ Lalu kita punya $$ \begin{align} M_X(t) & = \operatorname E(e^{tX}) = \sum_{x=0}^\infty e^{tx} (1-p)^x p \\[8pt] & = \frac p {1 - (1-p)e^t} = \frac{1-q}{1-qe^t}. \end{align} $$

• Sekarang biarkan $X$ menjadi jumlah uji coba independen yang diperlukan untuk mendapatkan satu keberhasilan, dengan probabilitas $p$kesuksesan di setiap percobaan. Kemudian$X\in\{1,2,3,\ldots\}$ dan $\Pr(X=x) = (1-p)^{x-1} p.$ Lalu kita punya $$ \begin{align} M_X(t) & = \operatorname E(e^{tX}) = \sum_{x=1}^\infty e^{tx} (1-p)^{x-1} p \\[8pt] & = \frac{pe^t}{1 - (1-p)e^t} = \frac{(1-q)e^t}{1 - qe^t}. \end{align} $$

Jadi yang ada di halaman MGF benar jika Anda menganggap "distribusi binomial negatif" yang didukung di set $\{r,r+1,r+2,\ldots\},$ dan yang ada di halaman NB benar jika Anda menganggap distribusi NB didukung di set $\{0,1,2,3,\ldots\},$ dan peran $p$ dan $q$ dipertukarkan.

Perhatikan bahwa artikel Wikipedia berjudul "Distribusi binomial negatif" mengatakan ini:

Teks yang berbeda (dan bahkan bagian yang berbeda dari artikel ini) mengadopsi definisi yang sedikit berbeda untuk distribusi binomial negatif. Mereka dapat dibedakan berdasarkan apakah dukungan dimulai$k = 0$ atau di $k = r,$ apakah $p$ menunjukkan kemungkinan sukses atau gagal, dan apakah $r$ mewakili keberhasilan atau kegagalan, jadi penting untuk mengidentifikasi parametrikisasi spesifik yang digunakan dalam teks tertentu.