Modularitas seri Ramanujan-Sato

Question

Seri Ramanujan-Sato $$j^*(\tau)=432\frac{\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728}}{\sqrt{ j(\tau)}-\sqrt{j(\tau)-1728}}=432\frac{E_4(\tau)^{\frac32}+E_6(\tau)}{E_4(\tau)^{\frac32}-E_6(\tau)} \\ = \frac{1}{q}-120+10260 q-901120 q^2+91676610 q^3+\mathcal O\left(q^{4}\right)$$ dari tingkat 1 menggeneralisasi rumus Ramanujan untuk $\frac1\pi$, dimana $q=e^{2\pi i\tau}$. Sini,$j$ adalah Klein $j$-inarian dan $E_k$adalah seri Eisenstein. Karena akar kuadrat, ia tampaknya tidak langsung menjadi fungsi modular untuk subkelompok kesesuaian$SL(2,\mathbb Z)$. Namun, karena berkaitan dengan Klein$j$-invariant by $$j=\frac{(j^*+432)^2}{j^*},$$ tampaknya memenuhi persamaan polinomial modular di $j$ derajat $2$, menyarankan itu $j^*$ adalah modular untuk subgrup indeks 2 dari $SL(2,\mathbb Z)$. Apakah ini benar? Dan apa yang akan menjadi grup invarian?

Setiap rekomendasi literatur akan sangat membantu, terima kasih banyak!

Answer 1

ini $$j^*(\tau)= 432\frac{(\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728})^2}{1728}=432\frac{2 j(\tau)-1728+2\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}}{1728}$$ Jadi kami melihat modularitas $$\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$$

$j(\tau)-1728$ adalah holomorfik bukan nol pada $e^{2i\pi /3}$ sementara $j(\tau)$ memiliki urutan nol $3$ (tidak $6$!!!) di $e^{2i\pi /3}$, jadi $\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$ dan karenanya $j^*(\tau)$ memiliki titik cabang di $e^{2i\pi/3}$, mereka tidak modular.

Mereka automorfik pada penutup ganda dari kurva modular.

Catat itu $f(\tau)=\sqrt{j(\tau)-1728}$ bersifat holomorfik karena satu-satunya angka nol $j(\tau)-1728$ ganda $SL_2(\Bbb{Z})i$. ini$2$-periodik dan $f(\gamma(\tau))=\chi(\gamma)f(\tau)$ dimana $\chi$ adalah karakternya $SL_2(\Bbb{Z})\to \pm 1$ didefinisikan oleh $\chi(\pmatrix{1&1\\0&1})=\chi(\pmatrix{0&1\\-1&0})=-1$ faktor mana yang melalui $SL_2(\Bbb{Z/2Z})$, faktanya $\ker(\chi)$ adalah matriks yang reduksi $\bmod 2$ adalah $\pmatrix{1&0\\0&1},\pmatrix{1&1\\1&0},\pmatrix{0&1\\1&1}$.