Nilai integral

Question

Saya perlu memverifikasi nilai integral berikut $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ Integrand (faktor dari $4n(n-1)$) termasuk) adalah pdf dari variabel acak tertentu untuk $n\geq 3$dan karena itu saya mengharapkannya 1. Jika seseorang dapat dengan baik hati memasukkannya ke dalam sistem aljabar komputer seperti MATHEMATICA, saya akan sangat berterima kasih. Saya tidak memiliki akses ke perangkat lunak CAS apa pun.

PS: -Aku tidak tahu ada software CAS gratis. Jika ada seseorang boleh berbagi

Answer 1

Integral dapat ditulis ulang sebagai \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} Mengintegrasikan berdasarkan bagian, kami dapatkan $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ Karena itu, \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}

PS Anda dapat menggunakan SageMath dan WolframAlpha untuk kalkulasi simbolik. Keduanya gratis.

Answer 2

Sepertinya dugaan Anda benar. Mathematica memberikan hasilnya$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ dalam hal fungsi Beta tidak lengkap, dan memasukkan bilangan bulat acak $\geq 3$ selalu menghasilkan 1 (saya belum berhasil mendapatkan Mathematica untuk meludahkannya sebagai hasil umum untuk sewenang-wenang $n$).

Answer 3

Anda dapat menggunakan CoCalc . Misalnya, ketik integral(x^2,x)dan dapatkan1/3*x^3

Ini juga memungkinkan parameter simbolis.

Memasukkan:

f(x,n)=x^2+n

integral(f(x,n),x)

Keluaran:

1/3*x^3+n*x