Norma dan spektrum operator

Question

Saya bertanya-tanya tentang kapan norma operator bertepatan dengan nilai eigen maksimum operator dan ada satu aspek tertentu yang cukup membingungkan saya.

Misalkan kita memiliki operator linier kontinu positif simetris $$ T : L^2(\Omega) \rightarrow L^2(\Omega) $$ dengan nilai eigen maksimum $\lambda>0$ maka $T u = \lambda u$ untuk beberapa fungsi eigen $u\in L^2(\Omega)$. Kemudian (jika saya memahaminya dengan benar), itu harus berlaku$$ \lambda = \sup_{v \in L^2(\Omega) \setminus \{ 0 \}} \frac{\| Tv \|_{L^2(\Omega)}}{\| v \|_{L^2(\Omega)}}. $$ Selanjutnya, mari kita asumsikan bahwa operator memiliki efek penghalusan sedemikian rupa $\mbox{image}(T) \subset H^1_0(\Omega)$ dan itu juga $H^1$-terus menerus (saya sedang memikirkan $T$sebagai kebalikan dari operator diferensial eliptik). Dalam hal ini kita dapat mengartikan operator sebagai$$ T : H^1_0(\Omega) \rightarrow H^1_0(\Omega) $$ Spektrumnya harus tetap tidak berubah, jadi saya akan berpikir begitu $$ \lambda = \sup_{v \in H^1_0(\Omega) \setminus \{ 0 \}} \frac{\| Tv \|_{H^1_0(\Omega)}}{\| v \|_{H^1_0(\Omega)}}. $$ Namun demikian, pernyataan tersebut $$ \sup_{v \in H^1_0(\Omega)} \frac{\| Tv \|_{H^1_0(\Omega)}}{\| v \|_{H^1_0(\Omega)}} = \lambda = \sup_{v \in L^2(\Omega)} \frac{\| Tv \|_{L^2(\Omega)}}{\| v \|_{L^2(\Omega)}}. $$terlihat salah bagi saya. Apakah itu? Jika ya, di manakah kesalahan argumen saya? Saya merasa seperti saya memiliki kesalahpahaman yang sangat mendasar di sini.

Answer 1

Poin utama di sini adalah, bagi seorang operator $S$ di ruang Banach (atau ruang Hilbert) $X$, nomor $\sup_{x \in X \setminus\{0\}} \frac{\|Sx\|}{\|x\|}$ bukan jari-jari spektral $S$tetapi norma operator. Norma operator selalu$\ge$ jari-jari spektral, tetapi kita tidak dapat mengharapkan persamaan secara umum.

Pada ruang Hilbert, satu syarat yang memadai untuk persamaan norma operator dan jari-jari spektral adalah bahwa operator tersebut dapat mengatur sendiri atau, lebih umum, normal.

Namun seperti yang ditunjukkan dalam komentar Mateusz Kwaśnicki, jika $T$ adalah self-adjoint $L^2$, ini tidak menyiratkan itu $T$ adalah self-adjoint $H^1_0$ karena produk dalam ada berbeda dengan produk dalam $L^2$.

Berikut adalah contoh konkret :

Membiarkan $\Omega = (0,2\pi)$ (diberkahi dengan ukuran Lebesgue non-normalisasi) dan definisikan $z,v \in H^1_0 := H^1_0(\Omega)$ oleh \begin{align*} z(x) & = \frac{|\sin(x)|}{\sqrt{\pi}}, \\ v(x) & = \sin(\frac{1}{2}x) \end{align*} untuk semua $x \in (0,2\pi)$.

Kami mendefinisikan operator $T$ di $L^2$ oleh $$ Tf = \langle f, z\rangle_{L^2} \cdot z $$ untuk semua $f \in L^2$. Kemudian$T$ adalah peringkat self-adjoint-$1$ proyeksi aktif $L^2$ yang norma dan radius spektralnya sama dengan $1$. Jelas, kisaran$T$ adalah bagian dari $H^1_0$.

Pembatasan $T$ untuk $H^1_0$ sekali lagi merupakan proyeksi bukan nol dan dengan demikian masih memiliki jari-jari spektral $1$. Tetapi norma operator$T$ di $H^1_0$ lebih besar dari $1$. Memang, kami punya$$ \|T\|_{H^1_0 \to H^1_0} \ge \frac{\|Tv\|_{H^1_0}}{\|v\|_{H^1_0}} = \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{45}\pi} > 1 $$ (kita perlu menghitung beberapa integral untuk mendapatkan persamaan di tengah, tetapi perhitungannya cukup mudah).

Ini membuktikan bahwa norma operator $T$ di $L^2$ dan seterusnya $H^1_0$ berbeda, meskipun radius spektral pada kedua ruang tersebut $1$. Secara khusus,$T$ tidak bisa self-adjoint (dan bahkan tidak normal) $H^1_0$.

EDIT: Pengamatan tambahan. Sedangkan pada contoh di atas, persamaan jari-jari spektral pada kedua ruang mengikuti fakta bahwa$T$ bertindak sebagai proyeksi pada kedua ruang, saya pikir mungkin bermanfaat untuk menunjukkan bahwa persamaan jari-jari spektral sebenarnya adalah fakta umum:

Dalil. (Persamaan jari-jari spektral) Let$V,X$ menjadi ruang Banach yang kompleks sedemikian rupa $V$ terus tertanam di dalamnya $X$. Membiarkan$T: X \to X$ menjadi operator linier terbatas seperti itu $TX \subseteq V$. Kemudian radius spektral operator$T: X \to X$ bertepatan dengan radius spektral dari batasan tersebut $T|_V: V \to V$.

Bukti. Kami menggunakan rumus radius spektral$$ (*) \qquad r(S) = \lim_{n \to \infty} \|S^n\|^{1/n} $$ yang berlaku untuk radius spektral $r(S)$ dari setiap operator linier terbatas $S$ di ruang Banach yang kompleks.

Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ operator $(T|_V)^n = (T^n)|_V: V \to V$ memfaktorkan sebagai $$ V \hookrightarrow X \overset{T^{n-1}}{\longrightarrow} X \overset{T}{\longrightarrow} V, $$ jadi rumus radius spektral $(*)$ menyiratkan itu $r(T|_V) \le r(T)$. Namun sebaliknya, operator$T^n: X \to X$ memfaktorkan sebagai $$ X \overset{T}{\longrightarrow} V \overset{(T|_V)^{n-1}}{\longrightarrow} V \hookrightarrow X, $$ jadi rumus radius spektral $(*)$ juga menyiratkan itu $r(T) \le r(T|_V)$. Ini membuktikan proposisinya.

Ucapan. Yang cukup menyenangkan dari dalil di atas adalah tidak bergantung pada nilai eigen, sehingga tidak ada asumsi kekompakan pada operatornya.$T$ dibutuhkan.